2. Approximation et interpolation
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(5) E l>n (w) est continue et indéfiniment dérivable à droite sur R et sa dérivée
vaut
E
0
l>n (w)=n[
E l>n1 (w)
w l+n w l
E l+1>n1 (w)
w l+n+1 w l+1
]
avec la convention suivante : on remplace par 0 les expressions dont le
dénominateur est nul.
(6) L’intégrale d’une B-spline
Z +4
4
E l>n (w) gw =
1
n +1
(w l+n+1 w l )
Soit (S 0 >S 1 >===>S q1 ) q points de R
v
. On appelle fonction spline (ou
courbe spline) de degré n associé au polygone (S 0 >S 1 >===>S q1 ) la courbe
définie par l’expression paramétrique
V(w)=
q1 X
l=0
S l E l>n (w)
pour w dans l’intervalle [d> e] et aux nœuds (w 0 >w 1 >===>w q+n )= Si les fonctions
E l>n (w) sont les polynômes de Bernstein, la courbe est appelée courbe de
Bézier . En général, la courbe spline ne passe pas par les points S l .D a n s
le cas où les nœuds w l sont simples (n +1 l q +1), la courbe spline est
de classe F
n1
et est formée de q arcs paramétrés polynomiaux de degré
n. Le choix des nœuds permet de définir facilement des splines
;
A A A A A ?
A A A A A =
w 0 = w 1 = === = w n =0
w n+1 =1
. . .
w q1 = q n 1
w q = w q+1 = === = w q+n = q n
La répétition des nœuds garantit que les extrémités de la courbe coïncident
avec les extrémités de la ligne polygonale : V(d)=S 0 et V(e)=S q1 .
Pour construire une courbe fermée, il su!t de choisir des nœuds cycliques
[0> 1> ===> q> 0> 1> ===q, etc.] par exemple
;
?
=
w 0 = w n+1 =0
w n+2 = w 1 =1
w n+l+1 = w l
Exemple. Soit quatre points (S 0 >S 1 >===>S 4 )= La courbe de Bézier sur ces
quatre points aura pour équation
V(w)=S 0 (1 w)
3 +3w(1 w)
2 S 1 +3w
2 (1 w)S 2 + w
3 S 3
soit encore
V(w)=(S 3 3S 2 +3S 1 S 0 )w
3 +3(S 2 2S 1 + S 0 )w
2 +3(S 1 S 0 )w + S 0