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Fonctions splines
Sur l’intervalle [d> e], la fonction cherchée V(w) e s td ec l a s s eC
n1
.O ni m -
pose à la fonction spline (s +1) conditions d’interpolation pour l =1 , 2,
..., s
V l ({ l )=i l
Les autres conditions sont déterminées par la continuité des dérivées et la
condition des splines cubiques
V
0 (d)=i
0 (d) hw V
0 (e)=i
0 (e)
La fonction polynomiale V est alors déterminée de manière unique. Si la
fonction i e s td ec l a s s eC
2
,
ki Vk 4 = R(1@s
2 )
et
ki V
0 k 4 = R(1@s)
En général, les splines sont déterminées par leur expression paramétrique.
Soit (w 0 >w 1 >===>w p ) une suite croissante de réels. On appelle B-splines de
degré n, les courbes définies pour w 5 R et 0 l p n 1 par
E l>0 (w)=1si w l w?w l+1 et 0 sinon
et si w l ?w l+n et w l+1 ?w l+n+1
E l>n (w)=
w w l
w l+n w l
E l>n1 (w)+
w l+n+1 w
w l+n+1 w l+1
E l+1>n1 (w)
Les réels w l sont appelés nœuds. S’il y a u nœuds w l égaux entre eux, on dit
q u ec ep o i n te s tu nn œ u dd ’ o r d r eu. On pose par convention 0@0=0 .L e s
fonctions splines sont définies paramétriquement. Le paramètre w représente
le temps. Les polynômes de Bernstein sont des cas particuliers de B-splines
à condition de prendre comme nœuds
w 0 = === = w n =0
w n+1 = === = w 2n+1 =1
Propriétés. (1) E l>n (w) est un polynôme de degré n par morceaux.
(2) E l>n (w)=0pour w@ 5 [w l >w l+n+1 ]
(3) Soit [d> e] un intervalle tel que w n d et w pn e alors
pn1 X
l=0
E l>n (w)=1
;w 5 [d> e[
(4) Soit w 5]w l >w l+n+1 [ alors E l>n (w)=1si et seulement si w l+1 = ===
= w l+n = w