2. Approximation et interpolation
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2.11 Fonctions splines
En introduisant les fonctions splines dans les années 40, Schoenberg apporta plus de souplesse dans l’approximation polynomiale. Il permit de
diminuer le degré du polynôme approchant la fonction en considérant des
fonctions polynomiales par morceaux appelées splines, du nom de la tige
flexible qu’on fixait sur le papier pour tracer des courbes lisses. Les polynômes de Serge Bernstein (1880-1968) servent dans la construction paramétrique des B-splines. Nous envisageons ici le cas des splines cubiques.S o i t
({ 0 >{ 1 >===>{ q ) les points d’interpolation d’une fonction i sur un intervalle
[d> e].O nn o t ei l = i ({ l ). Sur chaque intervalle élémentaire [{ l >{ l+1 [,o n
cherche un polynôme v l vérifiant les conditions d’interpolation
v l ({ l )=i l
et les conditions de continuité des dérivées premières et secondes, pour
l =1> 2> ====> q 1
½ v
0
l1 ({ l )=v
0
l ({ l )
v
00
l1 ({ l )=v
00
l ({ l )
L’ensemble de ces conditions nous incite à chercher un polynôme du troisième degré. Sa dérivée seconde vérifie, en posant k l = { l+1 { l
v
00
l ({)=i
00
l
{ l+1 {
k l
i
00
l+1
{ l {
k l
La fonction v l ({) e s td o n cd el af o r m e
v l ({)=i
00
l
({ l+1 {)
3
6k l
i
00
l+1
({ l {)
3
6k l
+ d l ({ l+1 {) e l ({ l {)
où les constantes d l et e l sont déterminées par les conditions d’interpolation.
Comme v l ({ l )=i l , on en déduit que
v l ({ l )=
i l
k l
i
00
l
k l
6
et de la condition v l ({ l+1 )=i l , on déduit la valeur
v l ({ l )=
i l+1
k l
i
00
l+1
k l
6
En exprimant la condition de continuité des dérivées premières, on obtient
un système de (q 1) équations données par
k l i
00
l +1+2(k l + k l1 )i
00
l + k l1 i
00
l1 =6(
i l+1 i l
k l
i l i l1
k l1
)
qui détermine complètement la fonction spline. Dans le cas général, la fonction spline est un polynôme par morceaux de degré inférieur ou égal à n.