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Polynômes de Bernstein
où les e
n
q sont les polynômes de Bernstein. En développant suivant la formule du binôme, on obtient
q
X
n=0
F
n
q {
n (1 {)
qn =0
et en dérivant deux fois par rapport à {
q
X
n=0
n
q
F
n
q {
n (1 {)
qn = {
q
X
n=0
µ n
q
¶ 2
e
n
q ({)=(1
1
q
){
2 +
{
q
En additionnant ces trois identités, on obtient
q
X
n=0
µ n
q
{
¶ 2
e
n
q ({)=
1
q
{(1 {)
D’autre part, comme i est une fonction continue sur [0> 1], elle est donc
uniformément continue et bornée
;A0> ;{> | 5 [0> 1] > |{ || ?=, |i ({) i (|)| ?
Pour chaque {, notons L l’ensemble des indices n pour lesquels
¯
¯ n
q {
¯
¯ ,
on a par continuité uniforme
|i ({) E q ({)| =
¯
¯
¯
¯
¯
q
X
n=0
µ
i ({) i (
n
q
)
¶
e
n
q ({)
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
X
n5L
µ
i ({) i (
n
q
)
¶
e
n
q ({)
¯
¯
¯
¯
¯
La fonction i étant bornée par une constante P ,o na
¯
¯
¯
¯
¯
X
n5L
µ
i ({) i (
n
q
)
¶
e
n
q ({)
¯
¯
¯
¯
¯
? 2P
X
n5L
(
n
q {)
2
(
n
q {) 2 e
n
q ({)
?
2P
2
{(1 {)
q
?
P
2q
2
Finalement, si AP@2q
2 ,o na
;{ 5 [0> 1] > |i ({) E q ({)| ?
ce qui démontre le théorème de Weierstrass.