2. Approximation et interpolation
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2.10 Polynômes de Bernstein
Les polynômes de Bernstein e
n
q sont les polynômes de degré q définis sur
[0> 1] par les relations
e
n
q ({)=F
n
q (1 {)
qn {
n
0 n q
La notation F
n
q d é s i g n el en o m b r ed ec o m b i n a i s o n sd en objets parmi q
(= q!@n!(q n)!).
Propriétés. (1) Les polynômes de Bernstein sont positifs
;{ 5 [0> 1]
e
n
q ({) 0
(2) Les polynômes de Bernstein forment une base de l’espace des polynômes
de degré inférieur ou égal à q.
(3) La somme des polynômes de même degré vaut 1
q
X
n=0
e
n
q ({)=1
(4) Les polynômes de Bernstein vérifient la relation de symétrie
e
n
q ({)=e
qn
q
(1 {)
(5) Les polynômes de Bernstein vérifient la relation de récurrence
e
n
q ({)={e
n
q1 ({)+(1 {)e
n+1
q1 ({)
(6) La dérivée des polynômes de Bernstein vérifie
ge
n
q ({)
g{
= q(e
n1
q1 ({) e
n
q1 ({))
Exemple. La base de Bernstein des polynômes de degré 3 est formée des
fonctions e
0
3 ({)=( 1 {)
3 e
1
3 ({)=3 ( 1 {
2 ){e
2
3 ({)=3 {
2 (1 {) et
e
3
3 ({)={
3
.
Les polynômes de Bernstein permettent de démontrer facilement le théorème de Weierstrass qui a!rme que toute fonction continue sur un intervalle
[d> e] est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales. En eet,
par un changement de variable, on se ramène à l’intervalle [0> 1].S ii est
une fonction continue, nous allons montrer qu’on peut trouver une suite
de polynômes de degré q qui converge uniformément vers i . Choisissons le
polynôme
E q ({)=
q
X
n=0
F
n
q {
n (1 {)
qn i (
n
q
)=
q
X
n=0
e
n
q ({)i (
n
q
)