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Approximation quadratique
est minimale si
d l =
hi> s l i
ks l k
2
2
Lissage par les moindres carrés. Considérons un ensemble de points expérimentaux ({ l >| l ). On se propose de déterminer une droite j({)=d{ + e approchant au mieux la fonction i représentée par le nuage de points ({ l >| l ).
Cherchons à minimiser la quantité
O =
q
X
l=0
(| l d{ l e)
2
Notons { la moyenne empirique de l’échantillon définie par
{ =
1
q
q
X
l=0
{ l
et
{ 2 =
1
q
q
X
l=0
{
2
l
et
{| =
1
q
q
X
l=0
{ l | l
Les dérivées partielles
CO
Cd
=
CO
Ce
=0
conduisent à l’équation matricielle
µ 1 {
{ { 2
¶µ
e
d
¶
=
µ
|
{|
¶
d’où on tire
d =
{| { |
{ 2 ({) 2
et
e =
| { 2 { {|
{ 2 ({) 2
Notons
2
{ la variance des abscisses et
2
| la variance des ordonnées :
2
{ = { 2 ({)
2
et
2
| = | 2 (|)
2
et f le coe!cient de corrélation
f = {| { |
La droite j({)=
f
{
({ {) | s’appelle droite de régression de | par
rapport à {. Elle passe par le point moyen ({> |)=