2. Approximation et interpolation
59
Dans le cas où le polynôme n’est pas normé, on a une relation de la forme
q+1 =(d q { + e q ) q f q q1
avec
q+1 = x q {
q + x
0
q {
q1 + ···
y q =
Z
L
2
q ({)$({)g{
d q =
x q+1
x q
>e q = d q (
x
0
q+1
x q+1
x
0
q
x q
)>f q =
x q+1 x q1 y q
x 2
q y q1
2.9 Approximation quadratique
L’approximation en moyenne quadratique, encore appelée dans le cas
discret approximation des moindres carrés, a été étudiée au XIX
h
siècle
par Tchebychev et Hermite. Le polynôme de meilleure approximation s’exprime simplement à l’aide des polynômes orthogonaux. Soit i une fonction
de O
2 [d> e],o nd i tq u el ep o l y n ô m es q de degré q est une meilleure approximation quadratique de i ou une meilleure approximation au sens des
moindres carrés si la norme
ki s q k
2
2 =
Z e
d
(i ({) s q ({))
2 g({)
est minimale. On établit facilement le résultat suivant :
Soit i 5 O
2 [d> e] une fonction de carré intégrable et s q une suite de
polynômes orthogonaux. Pour un entier naturel q donné, la quantité
°
°
°i
X
d l s l
°
°
°
2
est minimale si et seulement si d l =
hi> s l i
ks l k
2
2
= Autrement dit, la meilleure
approximation quadratique de i sur [d> e] est donnée par
t q ({)=
q
X
l=0
d l
s l ({)
ks l k 2
et d l = ?i>
s l
ks l k 2
A =
Z e
d
i ({)
s l ({)
ks l k 2
g({)
Car l’expression
°
°
°i
X
d l s l
°
°
°
2
2
= ki k
2
2 +
q
X
l=0
d
2
l 2
q
X
l=0
d l hi> s l i
=
Ã
ki k
2
2
q
X
l=0
hi> s l i
2
!
+ ks l k
2
2
q
X
l=0
µ
d l
hi> s l i
ks l k 2
¶ 2