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Polynômes orthogonaux
La norme au carré de ces polynômes est donnée par la relation
Z +1
1
[J
()
q ({)]
2 (1 {
2 )
1
2 g{ =
;
A A A ?
A A A =
2
12
q!(q + )!
(q +2)
() 2
si 6 =0
2
q 2
si =0
Polynômes de Jacobi. Soit A1 et A1, on considère sur l’intervalle
]1> +1[ > la fonction de pondération
$({)=(1 {)
(1 + {)
Les polynômes de Jacobi sont définis par la relation de récurrence
d q M q+1 ({)=(e q + {f q )M q ({) g q M q1 ({)
et les conditions initiales
M 0 ({)=1 M 1 ({)=( )@2+(1+( + )@2){
avec
d q =2(q +1)(q + + + 1)(2q + + )
e q =(2q + + +1)(
2
2 )
f q =(2q + + )
g q =2(q + )(q + )(2q + + +2)
La norme au carré de ces polynômes est donnée par la relation
Z +1
1
[M q ({)]
2 (1{)
(1+{)
g{ =
2
++1
2q + + +1
(q + +1)(q + +1)
q!(q + + +1)
Propriétés. Les polynômes orthogonaux ont certaines propriétés communes.
(1) Lorsque l’intervalle L est compact, les polynômes q forment une base
orthogonale de l’espace préhilbertien H. Les polynômes de Laguerre et
d’Hermite forment une base orthogonale (bien que L ne soit pas compact).
(2) Pour toute valeur de q, q { q1 est un polynôme de degré strictement inférieur à q et
h{ q1 > q i = h q > q i
(3) Tout polynôme q as e sq racines réelles, distinctes et intérieures à L.
(4) Il existe deux suites de nombres réels q et q avec q A 0 telles que
;q 1>
q+1 =({ + q ) q q q1
Les constantes sont données par
q =
h{ q > q i
k q k
2
2
> q =
k q k
2
2
k q1 k
2
2