2. Approximation et interpolation
57
Leur norme vérifie la relation
kW q k
2
2 =
Z +1
1
W
2
q ({)
g{
s
1 { 2
=
½
2
si q 6 =0
si q =0
Les p o l y n ô m e sd eT c h e b y c h e vd ed e u x i è m ee s p è c es o n td é fi n i sp a rl e sr e l a -
tions de récurrence
X q+1 ({)=2{X q ({) X q1 ({)
et les conditions initiales
X 0 ({)=1 X 1 ({)=2{
Ils sont liés aux polynômes de première espèce par les relations
X q ({)=
1
1 { 2 ({W q+1 W q+2 ) X q (1) = q +1
Leur norme vérifie la relation
kX q k
2
2 =
Z +1
1
X
2
q ({)
g{
s
1 { 2
=
2
Polynômes d’Hermite. On considère que sur R, la fonction de pondération
vaut $({)=h
{
2 = Les polynômes d’Hermite sont définis par la relation de
récurrence
K q+1 ({)=2{K q ({) 2qK q1 ({)
et les conditions initiales
K 0 ({)=1 K 1 ({)=2{
Leur norme vérifie la relation
kK q k
2
2 =
Z +4
4
K
2
q ({)h
{
2 g{ =
s
2
q q!
Polynômes de Gegenbauer. Soit A1@2, on considère sur l’intervalle
]1> +1[ > la fonction de pondération
$({)=(1 {
2 )
1
2
Les polynômes ultrasphériques ou polynômes de Gegenbauer sont définis
par la relation de récurrence
(q +1)J
()
q+1 ({)=2(q + )J
()
q ({) (q +2 1)J
()
q1 ({)
et les conditions initiales
J
()
0 ({)=1 J
1 ({)=2{ (si 6 =0)>J
0
1 =2{