2. Approximation et interpolation
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2.13 Exercices
1. On considère la fonction
i ({)=
4
1 {
Écrire le polynôme de Lagrange s({) aux points { 0 = 1, { 1 =0 ,
{ 2 =2et { 3 =3 . Évaluer l’erreur au point { =1+
s
5. Tracer les
courbes i ({) et s({).
2. Écrire pour la fonction de l’exercice précédent, le polynôme d’Hermite
vérifiant
s(0) = i (0) = 4
s(2) = i (2) = 4
s
0 (0) = i
0 (0) = 4
s
0 (2) = i
0 (2) = 4
Tracer les courbes i ({) et s({). Évaluer l’erreur au point { =1+
s
5.
3. Soit la fonction
i ({)=3exp({
2
3
4
)
Écrire l’interpolation de Tchebychev sur trois points.
4. On considère la fonction
i ({)=
1
1+25{ 2
sur l’intervalle [1> +1]. Soit { m =1+mk,p o u rm =0 > 1> 2> ===> q une
subdivision régulière de pas k =2 @q. Déterminer la fonction spline
cubique lorsque q =4,e tq =12.
5. On définit les polynômes de Tchebychev par la relation de récurrence
½
W 0 ({)=1 W 1 ({)={
W q+1 ({)=2{W q ({) W q1 ({)
Montrer que ces polynômes satisfont la relation de récurrence
(1 {
2 )W q ({)=q{W q ({)+qW q1 ({)
Démontrer les relations d’orthogonalité
Z +1
1
W q ({)W p ({)
g{
s
1 { 2
=
2
q>p
q 6 =0
et pour q =0
Z +1
1
W
2
0 ({)
g{
s
1 { 2
=