2. Approximation et interpolation
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L’espace H muni du produit scalaire
hi> ji =
Z
L
i ({)j({)$({)g{
est un espace préhilbertien. Les polynômes orthogonaux relativement à la
fonction de poids $({) sont les polynômes q de degré q vérifiant la relation
d’orthogonalité
h q > p i =
Z
L
q ({) p ({)$({)g{ =0
q 6 = p> et q> p =0> 1> 2> ===
Il existe une suite unique de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire de H de degré q àcoe!cients réels et dont le terme de plus haut degré
est {
q = La démonstration de ce résultat se fait par récurrence sur l’entier q.
On construit q par le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. Supposons la propriété établie jusqu’à l’ordre (q1) et soit ( 0 > 1 >===> q1 )
u n eb a s ed el ’ e s p a c eP q1 > construisons un polynôme sous la forme
q ({)={
q
q1 X
n=0
d n n
Comme le produit scalaire h q > n i =0s’annule pour les valeurs de n
=0> ===> q 1> on en déduit que
d n =
h{
q > n i
k n k
2
2
Le polynôme est ensuite normé
q =
q
k q k 2
En pratique, les polynômes orthogonaux ne sont pas toujours de norme 1,
on emploie souvent q q au lieu de q = Donnons des exemples de polynômes orthogonaux :
Polynômes de Legendre. Sur l’intervalle [1> +1], la fonction de pondération
vaut $({)=1 . Les polynômes sphériques ou polynômes de Legendre sont
définis par la relation de récurrence
(q +1)S q+1 ({)=(2q +1){S q ({) qS q1 ({)
et les conditions initiales
S 0 ({)=1 S 1 ({)={