54
Polynômes orthogonaux
ainsi que la propriété suivante
;A0> ;wA0
$ i (w) (1 + )$ i (w)
Le module de continuité permet de caractériser diérentes classes de fonctions. La fonction i est uniformément continue sur L si et seulement si
lim
w$0
$ i (w)=0
La fonction i est lipschitzienne de rapport n si et seulement si
$ i (w) n$ i (w)
La fonction i est höldérienne d’ordre pour 0 ??1 si et seulement si
$ i (w) nw
Le module de continuité permet d’établir un résultat de Jackson. Soit
i 5 C([d> e]),i le x i s t ed e sp o l y n ô m e ss q de degré q appelés polynômes
de Jackson vérifiant
ki s q k 3$ i (
e d
q +2
)
L ac o n s t a n t ed eL e b e s g u e q est de l’ordre de
q '
2
q+1
hq ln(q)
s il e sp o i n t s( { l )s o n té q u i d i s t a n t se t
q '
2
ln(q)
silespoints({ l ) sont les points de Tchebychev. Ce résultat permet de montrer que si i est n-lipschitzienne, les polynômes d’interpolation de Tchebychev convergent vers i sur l’intervalle [d> e]=
2.8 Polynômes orthogonaux
Soit L un intervalle borné ou non de R, $ : L $ R une fonction numérique
continue positive appelée poids telle que
;q 5 N>
Z
L
|{|
q $({)g{ ? 4
On considère l’espace vectoriel H des fonctions continues de L dans N telles
que
Z
L
|i ({)|
2 $({)g{ ? 4