2. Approximation et interpolation
53
(d + e)@2> alors les polynômes d’interpolation s q convergent uniformément
vers i si
UA(
1
f
+
1
2
)(e d)
la constante f étant donnée par f =1si les points { l sont quelconques,
f = h si les points { l sont équidistants, et f =4si les points { l sont les
points de Tchebychev.
Rappelons qu’une fonction i : L $ R est lipschitzienne de rapport n ou
n-lipschitzienne si
;{> | 5 L
|i ({) i (|)| n |{ ||
L’ensemble des fonctions k-lipschitziennes est un espace vectoriel. Muni
de la norme uniforme, l’espace Ols(L) est un espace de Banach (espace
vectoriel normé complet).
Une fonction i : L $ R est höldérienne de coe!cient avec 0 ? 1 et
de rapport n si
;{> | 5 L
|i ({) i (|)| n |{ ||
L’ensemble des fonctions höldériennes Ols >n (L) de coe!cient et de rapport n est un espace vectoriel. Muni de la norme uniforme, c’est un espace
de Banach.
Le module de continuité d’une fonction i est la fonction $ i : R
+ $ R
+
définie par
$ i (w)=
sup
|{||w> {>|5[d>e]
{|i ({) i (|)|}
Ce module vérifie diérentes propriétés.
;{> | 5 [d> e]>
|i ({) i (|)| $ i (|{ ||)
La fonction w 7 $ $ i (w) est une fonction croissante et la limite vérifie
lim
w$0 +
$ i (w)=0
La fonction $ i est sous-additive
;v> w 5 R
+ >$ i (v + w) $ i (v)+$ i (w)
et vérifie
;q 5 N> ;wA0
$ i (qw) q$ i (w)