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Approximation uniforme
la meilleure approximation de i et vérifiant x(d)=d> ;d 5 D. Pour toute
fonction i de H, l’erreur d’approximation est majorée par
ki x(i )k (1 + kxk)g(i> D)
Le nombre = kxk est appelé constante de Lebesgue.I lm e s u r el ’ a m -
plification de l’erreur. La vérification est immédiate. Soit * la meilleure
approximation de i sur D.C o m m e* 5 D> on a x(*)=*. Par conséquent
ki x(i )k ki *k + kx(i *)k (1 + kxk)g(i> D)
2.7 Approximation uniforme
Le théorème de Karl Weierstrass (1815-1897), établi en 1885, a!rme que
toute fonction continue sur un intervalle L peut être approchée uniformément par une suite de polynômes. Le problème est de trouver un moyen
de construire cette suite de polynômes. On considère l’espace vectoriel des
fonctions continues de [d> e] dans R muni de la norme uniforme
ki k =s u p
{5[d>e]
|i ({)|
et on note
g(i> P q )= inf
s5P q
ki sk
la distance de i à l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à q.
Soit i une fonction de C([d> e]) continue sur l’intervalle [d> e] et à valeurs
dans R. Pour tout entier q naturel, il existe un et un seul polynôme t q qui
réalise le minimum de
ki t q k = g(i> P q )
Ce polynôme est appelé polynôme de meilleure approximation uniforme.
Dans le cas complexe, le théorème de Mergelyan établit que si D est un
compact de C, i une fonction continue sur D et analytique sur l’intérieur
de D, i admet une meilleure approximation polynomiale si et seulement si
le complémentaire de A est connexe.
On dit que i 5 C([d> e]) équioscille sur (q +1) points de l’intervalle [d> e] s’il
existe des points { 0 ?{ 1 ? === ? { q tels que |i ({ l )| = ki k pour l =0>===q
et i ({ l+1 )=i ({ l ) pour l =0> ===> q 1=
On démontre que si i 5 C([d> e]) est une fonction continue, le polynôme de
meilleure approximation t q 5 P q de i est l’unique polynôme de degré q tel
que (i t q ) équioscille sur au moins (q+2) points de l’intervalle [d> e] et que
si i est une fonction analytique de série entière de rayon U centrée au point
Approximation uniforme
la meilleure approximation de i et vérifiant x(d)=d> ;d 5 D. Pour toute
fonction i de H, l’erreur d’approximation est majorée par
ki x(i )k (1 + kxk)g(i> D)
Le nombre = kxk est appelé constante de Lebesgue.I lm e s u r el ’ a m -
plification de l’erreur. La vérification est immédiate. Soit * la meilleure
approximation de i sur D.C o m m e* 5 D> on a x(*)=*. Par conséquent
ki x(i )k ki *k + kx(i *)k (1 + kxk)g(i> D)
2.7 Approximation uniforme
Le théorème de Karl Weierstrass (1815-1897), établi en 1885, a!rme que
toute fonction continue sur un intervalle L peut être approchée uniformément par une suite de polynômes. Le problème est de trouver un moyen
de construire cette suite de polynômes. On considère l’espace vectoriel des
fonctions continues de [d> e] dans R muni de la norme uniforme
ki k =s u p
{5[d>e]
|i ({)|
et on note
g(i> P q )= inf
s5P q
ki sk
la distance de i à l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à q.
Soit i une fonction de C([d> e]) continue sur l’intervalle [d> e] et à valeurs
dans R. Pour tout entier q naturel, il existe un et un seul polynôme t q qui
réalise le minimum de
ki t q k = g(i> P q )
Ce polynôme est appelé polynôme de meilleure approximation uniforme.
Dans le cas complexe, le théorème de Mergelyan établit que si D est un
compact de C, i une fonction continue sur D et analytique sur l’intérieur
de D, i admet une meilleure approximation polynomiale si et seulement si
le complémentaire de A est connexe.
On dit que i 5 C([d> e]) équioscille sur (q +1) points de l’intervalle [d> e] s’il
existe des points { 0 ?{ 1 ? === ? { q tels que |i ({ l )| = ki k pour l =0>===q
et i ({ l+1 )=i ({ l ) pour l =0> ===> q 1=
On démontre que si i 5 C([d> e]) est une fonction continue, le polynôme de
meilleure approximation t q 5 P q de i est l’unique polynôme de degré q tel
que (i t q ) équioscille sur au moins (q+2) points de l’intervalle [d> e] et que
si i est une fonction analytique de série entière de rayon U centrée au point