2. Approximation et interpolation
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Considérons maintenant un élément d de D qui n’appartient pas à E,o na
;d 5 D \ E>
kd i k kdk ki k A ki k k* i k
ce qui permet d’étendre l’inégalité précédente à tous les éléments de D donc
d est une meilleure approximation de i .
Soit H un espace vectoriel normé contenant l’espace P q des polynômes de
degré inférieur ou égal à q. Pour toute fonction i de H,i le x i s t ea um o i n s
un polynôme s q 5 P q tel que :
ki s q k =i n f
s5Pq
ki sk
Le polynôme s q est appelé polynôme de meilleure approximation pour la
norme de H.
Il est facile de vérifier ce résultat. Il existe une suite j q telle que
lim
q
ki j q k =i n f
s5H
ki sk
Une telle suite est bornée car kj q k ki j q k + ki k et comme P q est
de dimension finie, on peut extraire une sous-suite convergeant vers un
polynôme s q qui minimise la distance de i à S q .
Remarque. L’unicité de la meilleure approximation est un problème di!cile.
Cette unicité n’est pas toujours vérifiée. Par exemple, si H est l’ensemble
des fonctions continues sur [1> 1] et intégrables sur cet intervalle H = O
1
et D est l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 1, D = S 1 .
La fonction i ({)=1si {A0,e t1 si {?0 admet pour meilleure
approximation toutes les fonctions constantes *({)=f,a v e cf 5 [1> 1] et
dans ce cas
ki *k =
Z 1
1
|i ({) *({)| g{ =2
On démontre que lorsque H est l’espace des fonctions continues sur un
intervalle [d> e], H = C[d> e] et D est l’espace des polynômes de degré q,
D = P q > le polynôme de meilleure approximation est unique, mais lorsque
H e s tl ’ e s p a c ed eL e b e s q u eH = O
s [d> e] et D = P q , ce polynôme n’est pas
toujours unique. Lorsque H = C[d> e] est muni de la convergence uniforme,
on parle de meilleure approximation uniforme, de Tchebychev, ou minimax.
Lorsque H = O
2 [d> e] on parle de meilleure approximation quadratique ou
meilleure approximation au sens des moindres carrés.
On démontre le résultat suivant qui introduit la constante de Lebesgue. Soit
H un espace vectoriel normé, D un sous-espace vectoriel de H de dimension
finie. Soit x l’opérateur linéaire de H $ D défini par x(i )=* où * est
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Considérons maintenant un élément d de D qui n’appartient pas à E,o na
;d 5 D \ E>
kd i k kdk ki k A ki k k* i k
ce qui permet d’étendre l’inégalité précédente à tous les éléments de D donc
d est une meilleure approximation de i .
Soit H un espace vectoriel normé contenant l’espace P q des polynômes de
degré inférieur ou égal à q. Pour toute fonction i de H,i le x i s t ea um o i n s
un polynôme s q 5 P q tel que :
ki s q k =i n f
s5Pq
ki sk
Le polynôme s q est appelé polynôme de meilleure approximation pour la
norme de H.
Il est facile de vérifier ce résultat. Il existe une suite j q telle que
lim
q
ki j q k =i n f
s5H
ki sk
Une telle suite est bornée car kj q k ki j q k + ki k et comme P q est
de dimension finie, on peut extraire une sous-suite convergeant vers un
polynôme s q qui minimise la distance de i à S q .
Remarque. L’unicité de la meilleure approximation est un problème di!cile.
Cette unicité n’est pas toujours vérifiée. Par exemple, si H est l’ensemble
des fonctions continues sur [1> 1] et intégrables sur cet intervalle H = O
1
et D est l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 1, D = S 1 .
La fonction i ({)=1si {A0,e t1 si {?0 admet pour meilleure
approximation toutes les fonctions constantes *({)=f,a v e cf 5 [1> 1] et
dans ce cas
ki *k =
Z 1
1
|i ({) *({)| g{ =2
On démontre que lorsque H est l’espace des fonctions continues sur un
intervalle [d> e], H = C[d> e] et D est l’espace des polynômes de degré q,
D = P q > le polynôme de meilleure approximation est unique, mais lorsque
H e s tl ’ e s p a c ed eL e b e s q u eH = O
s [d> e] et D = P q , ce polynôme n’est pas
toujours unique. Lorsque H = C[d> e] est muni de la convergence uniforme,
on parle de meilleure approximation uniforme, de Tchebychev, ou minimax.
Lorsque H = O
2 [d> e] on parle de meilleure approximation quadratique ou
meilleure approximation au sens des moindres carrés.
On démontre le résultat suivant qui introduit la constante de Lebesgue. Soit
H un espace vectoriel normé, D un sous-espace vectoriel de H de dimension
finie. Soit x l’opérateur linéaire de H $ D défini par x(i )=* où * est