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Meilleure approximation
2.6 Meilleure approximation
Déterminer la meilleure approximation n’est pas toujours facile. Elle dépend de la topologie des espaces mis en œuvre. Soit H un espace métrique,
D un sous-ensemble de H et i un élément de H. On dit qu’un élément *
de D est une meilleure approximation de i si
ki *k = g(i> D)= inf
d5D
ki dk
On démontre que si D est compact, alors pour toute fonction i de H il
existe au moins une meilleure approximation.
En eet, soit i un élément quelconque de H, notons g la distance de i à D
et considérons la suite (d q )d ’ é l é m e n t sd eD tels que
lim
q$4
ki d q k = g(i> D)=g
D’où on déduit l’inégalité
;%A0>
< n 1 A 0>q n 1 =,
ki d q k g + %
Comme D est compact, cette suite admet une limite *, par conséquent
;%A0>
< n 2 A 0>q n 2 =,
kd q *k %
En additionnant les deux inégalités, ;%A0> < nA0>
q n =, ki xk ki d q k + kd q *k g + %
on en déduit que
ki *k ki dk
;d 5 D
La limite de la suite est donc une meilleure approximation.
De ce résultat, on déduit que si H est un espace vectoriel de dimension finie
et D est un sous-espace vectoriel de H, alors pour toute fonction i de H,i l
existe au moins une meilleure approximation.
En eet, soit E le sous-ensemble de D
E = {e 5 D :
kek 2 ki k}
Cet ensemble est non vide (car il contient au moins 0), fermé, borné :
donc E est compact. D’après le résultat précédent, il existe au moins une
meilleure approximation de i ,n o t é e* et vérifiant
ki *k ki ek
;e 5 E