2. Approximation et interpolation
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points. Pour calculer une interpolation de i en un point {, on peut utiliser
l e sf o r m u l e sd e sd i érences divisées. Mais la méthode proposée par Aitken
en 1932 évite le calcul des coe!cients du polynôme, et ne suppose pas que
les points { l sont uniformément répartis. Elle se fonde sur la proposition
suivante :
Soit i ({ |{ s >===>{ t ) l’unique polynôme d’interpolation de degré (t s 1)
qui coïncide avec i ({) aux points { s >===>{ t = On a la relation de récurrence
({ n { m )i ({ |{ s >===>{ t )=
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({ n {)
i ({ |{ s >===>{ m1 >{ m+1 >===>{ t )
({ m {)
i ({ |{ s >===>{ n1 >{ n+1 >===>{ t )
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Exemple. Supposons connues les valeurs i 0 >i 1 >i 2 >i 3 de i aux points { 0 >
{ 1 >{ 2 >{ 3 et calculons pour S ({) un polynôme de degré 3, sa valeur au
point {. On calcule d’abord les valeurs S ({ |{ 0 >{ m ) par la relation
({ m { 0 )S ({ |{ 0 >{ m )=
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i 0 { 0 {
i m { m {
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puis les valeurs S ({ |{ 0 >{ l >{ m ) par
({ m { l )S ({ |{ 0 >{ l >{ m )=
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S ({ |{ 0 >{ l ) { l {
S ({ |{ 0 >{ m ) { m {
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et enfin la valeur cherchée S ({)=S ({ |{ 0 >{ 1 >{ 2 >{ 3 ) par
({ 3 { 2 )S ({ |{ 0 >{ 1 >{ 2 >{ 3 )=
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S ({ |{ 0 >{ 1 >{ 2 ) { 2 {
S ({ |{ 0 >{ 1 >{ 3 ) { 3 {
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La méthode de Neville-Aitken nécessite (q
2 +2q +1) additions, (q
2 + q)
multiplications et
1
2 (q
2 + q) divisions. En pratique, on dispose le calcul
du polynôme d’interpolation sous la forme d’une table. Notons S l+1>m le
polynôme d’interpolation de Lagrange aux points { m >{ m+1 >===>{ m+l+1 .L a
formule de la proposition
({ l+m+1 { m )S l+1>m =({ l+m+1 {)S l>m ({ m {)S l>m+1
Supposons connues les valeurs i ({ l )=i l = S 0>l pour l =0> 1> 2> 3.
i 0 = S 0>0 S 1>0 S 2>0 S 3>0
i 1 = S 0>1 S 1>1 S 2>1
i 2 = S 0>2 S 1>2
i 3 = S 0>3
On remplit successivement chaque colonne du tableau en utilisant la formule précédente. La valeur S 3>0 donne la valeur cherchée.