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Algorithme de Neville-Aitken
Lorsqu’on utilise les diérences centrales, on établit la formule de LaplaceEverett. Cette formule était connue de Pierre Simon Laplace (1749-1827)
qui l’utilisa dans sa Théorie analytique des probabilités publiée en 1812.
Elle a été établie par J.D. Everett en 1900.
i ({ 0 + k)=(1 )i 0 + i 1
( 1)( 2)
3!
2
0 +
( +1)( 1)
3!
2
1
+ ···
( + q 1)( + q 2) ===( q +3)
(2q +1)!
2q
0 +
+
( + q)( + q 1) ===( q)
(2q +1)!
2q
1 + U 2q ({)
Le reste U 2q ({) est donné par
U 2q ({)=k
2q+2 ( + q)( + q 1) ===( q 1)
(2q +2)!
i
(2q+2) (f)
Le nombre f (qui dépend de q) appartient à l’intervalle { 0 f { q =
D’autres formules peuvent être établies à partir des diérences centrées. En
un point { = { m + k,o nal aformule de Newton-Stirling. Cette formule,
connue de Newton, a été étudiée par James Stirling (1692-1770) en 1730.
i ({) ' i ({ m )+
1
m +
2
2!
2
m +
(
2 1)
3!
3
m +
(
2 1)
4!
4
m
+
(
2 1)(
2 4)
5!
5
m + ···
La formule de Newton-Bessel, qui figure dans le Methodus Dierentialis de
Newton sous une forme légèrement diérente, a été étudiée par Friedrich
Bessel (1784-1846).
i ({) ' i ({ m+
1
2
)+
1
m+
1
2
+
(
2
1
4 )
2!
2
m+
1
2
+
(
2
1
4 )
3!
3
m+
1
2
+
(
2
1
4 )(
2
9
4 )
4!
4
m+
1
2
+ ···
2.5 Algorithme de Neville-Aitken
Alexander Craig Aitken (1895-1967) puis Eric Harold Neville (1889-1961)
ont proposé un algorithme récurrent de calcul du polynôme d’interpolation
de Lagrange sur q points à partir d’une expression portant sur (q 1)