2. Approximation et interpolation
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La vérification s’eectue en utilisant les propriétés des diérences divisées.
Si on pose { = { 0 + k, la propriété (ii) des diérences progressives s’écrit
({ { 0 )({ { 1 ) ===({ { n1 )i [{ 0 >{ 1 >===>{ n ]
=
( 1) ===( n +1)
n!
n i ({ 0 )
En substituant dans le polynôme d’interpolation de Lagrange écrit sous la
forme
S q ({)=i ({ 0 )+
q
X
nm=0
i [{ 0 >===>{ n ]({ { 0 ) ···({ { n1 )
on obtient la formule de Newton progressive. Dans l’interpolation de i par
S q ({) le reste, qui est donné par
U q ({)=i ({) S q ({)=
Z {
{ 0
i
(q+1) (w)
({ w)
q
q!
gw
vérifie la propriété suivante
< 5 ]{ 0 >{ q [
U q ({)=({ { 0 ) ···({ { q )
i
(q+1) ()
(q +1)!
d’où découle la majoration.
En utilisant les diérences régressives et en posant =( { { q )@k> le
polynôme d’interpolation s’écrit (Formule de Newton régressive)
S q ({)=i ({ q )+
q
X
n=1
( +1)===( + n 1)
n!
u
n i ({ q )=
q
X
n=0
F
n
+n1 u
n i ({ 0 )
L’erreur d’interpolation devient
U q ({)=i ({) S q ({)=
( +1)===( + q)
(q +1)!
k
q+1 i
(q+1) (f)
Le nombre f (qui dépend de q) appartient au plus petit intervalle contenant
{ 0 , { q et {.
Remarquons que les polynômes de Newton
Q n ()=
( 1) ===( n +1)
n!
n =0>===>q
forment une base de l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à q.
Ils vérifient la relation de récurrence
Q n1 ()=Q n () Q n ( 1)