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Diérences divisées
(3) Si q et n ont même parité,
n
l@2 =
n
(qn)@2
Remarquons que les opérateurs de Bernoulli s’expriment par les opérateurs
de translation
k i ({)=i ({ k)
et par les formules
= 1 L
u = L 1
= 1@2 1@2
ce qui permet de développer un calcul symbolique qui a été utilisé par
Lagrange à la fin du XVIII
h
siècle.
La formule d’interpolation de Newton a été établie indépendamment par
James Gregory en 1670 et par Isaac Newton en 1675. Cette formule avait
été donnée quelques années auparavant par Thomas Harriot (en 1610).
Elle correspond à la formule d’Euler-Mac Laurin tronquée à l’ordre q et
dans laquelle dérivées et diérences divisées se correspondent. Le polynôme
d’interpolation de Newton n’est autre que le polynôme de Lagrange écrit
en utilisant les diérences divisées.
Soit i une fonction continue d’un intervalle [d> e] dans R et { 0 ?{ 1 ? ===
?{ q (q +1) points distincts de l’intervalle [d> e].Onsupposequelespoin ts
{ l sont régulièrement espacés et on note k = { l+1 { l la diérence entre
deux points consécutifs. On pose { = { 0 + k= L’interpolation de Newton,
pour laquelle le polynôme d’interpolation de Lagrange s’écrit (Formule de
Newton progressive)
S q ({)=i ({ 0 )+
q
X
n=0
( 1) ===( n +1)
n!
n i ({ 0 )
nécessite (q
2 +3 q) additions, q multiplications et (q
2 + q)@2 divisions.
L’erreur d’interpolation vaut
U q ({)=i ({) S q ({)=
( 1) ===( q)
(q +1)!
k
q+1 i
(q+1) (f)
Le nombre f dépend de q et de { et appartient au plus petit intervalle
contenant { 0 , { q et {. L’erreur est majorée par
|U q ({)|
k
q+1
q +1
sup
l=0==q
i
(q+1) ({ l )
Diérences divisées
(3) Si q et n ont même parité,
n
l@2 =
n
(qn)@2
Remarquons que les opérateurs de Bernoulli s’expriment par les opérateurs
de translation
k i ({)=i ({ k)
et par les formules
= 1 L
u = L 1
= 1@2 1@2
ce qui permet de développer un calcul symbolique qui a été utilisé par
Lagrange à la fin du XVIII
h
siècle.
La formule d’interpolation de Newton a été établie indépendamment par
James Gregory en 1670 et par Isaac Newton en 1675. Cette formule avait
été donnée quelques années auparavant par Thomas Harriot (en 1610).
Elle correspond à la formule d’Euler-Mac Laurin tronquée à l’ordre q et
dans laquelle dérivées et diérences divisées se correspondent. Le polynôme
d’interpolation de Newton n’est autre que le polynôme de Lagrange écrit
en utilisant les diérences divisées.
Soit i une fonction continue d’un intervalle [d> e] dans R et { 0 ?{ 1 ? ===
?{ q (q +1) points distincts de l’intervalle [d> e].Onsupposequelespoin ts
{ l sont régulièrement espacés et on note k = { l+1 { l la diérence entre
deux points consécutifs. On pose { = { 0 + k= L’interpolation de Newton,
pour laquelle le polynôme d’interpolation de Lagrange s’écrit (Formule de
Newton progressive)
S q ({)=i ({ 0 )+
q
X
n=0
( 1) ===( n +1)
n!
n i ({ 0 )
nécessite (q
2 +3 q) additions, q multiplications et (q
2 + q)@2 divisions.
L’erreur d’interpolation vaut
U q ({)=i ({) S q ({)=
( 1) ===( q)
(q +1)!
k
q+1 i
(q+1) (f)
Le nombre f dépend de q et de { et appartient au plus petit intervalle
contenant { 0 , { q et {. L’erreur est majorée par
|U q ({)|
k
q+1
q +1
sup
l=0==q
i
(q+1) ({ l )