2. Approximation et interpolation
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On note
u
n
l = u
n i ({ l )
i l = i ({ l )
et
u
0 i ({ l )=i ({ l )
En particulier
u
1
l = i l i l1
u
2
l = i l 2i l1 + i l2
u
3
l = i l 3i l1 +3i l2 i l3
Les diérences régressives satisfont la relation
u
n
m =
n
X
m=0
(1)
m+1 F
m
n i ln+m
De manière analogue, on introduit aussi l’opérateur des diérences centrées.
L’opérateur des diérences centrées ou centrales est l’opérateur noté défini
par
i({)=i ({ +
k
2
) i ({
k
2
)
et par récurrence, on définit l’opérateur
n par
n i ({)=
³
n1 i
´
({)
Les diérences centrées ont été introduites en 1899 par le mathématicien
William Sheppard (1863-1936). Pour les points { l > on note
n
l =
n i ({ l )
avec
0 i ({ l )=i ({ l )=i l
En particulier
i({ l+1@2 )=i l+1 i l
2
l = i l+1 2i l + i l1
3
l+1@2 = i l+2 3i l+1 +3i l i l1
Propriétés. (1) L’opérateur de Bernoulli de puissance paire s’écrit
2n
l =
2n
X
m=0
(1)
m F
m
2n i l+nm
(2) L’opérateur de Bernoulli de puissance impaire s’exprime par la relation
2n+1
l+
1
2
=
2n+1 X
m=0
(1)
m F
m
2n+1 i l+n+1m