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Diérences divisées
On note
n
l =
n i ({ l )
i l = i ({ l )
et
0 i ({ l )=i ({ l )
En particulier
1
l = i l+1 i l
2
l = i l+2 2i l+1 + i l
3
l = i l+3 3i l+2 +3i l+1 i l
Ces quantités se calculent facilement en les présentant sous la forme d’un
tableau dans lequel chaque élément de celui-ci est la diérence des deux
éléments voisins situés sur la ligne précédente
i 0
i 1
i 2
i 3
i 4
i 0
i 1
i 2
i 3
2 i 0
2 i 1
2 i 2
3 i 0
3 i 1
4 i 0
Propriétés.( 1 )L e sd i érences progressives satisfont la relation
n i ({ m )=
n
m+1
n1
m
=
n
X
m=0
(1)
m F
m
n i ({ l+nm )
(2) Les diérences divisées et les diérences progressives sont liées par la
relation
i [{ l >===>{ l+n ]=
n i ({ l )
n! k n
avec k = { l+1 { l
(3) Si on pose { = { 0 + k, la formule de Newton se simplifie
({ { 0 )({ { 1 ) ===({ { n1 )i [{ 0 >{ 1 >===>{ n ]
=
( 1) ===( n +1)
n!
n i ({ 0 )
De la même façon, on construit l’opérateur des diérences régressives.
L’opérateur des diérences régressives,d e sdiérences à gauche ou encore
opérateur de Bernoulli régressif est l’opérateur u défini par
ui ({)=i ({) i ({ k)
et par récurrence, l’opérateur u
n est défini par
u
n i ({)=u
³
u
n1 i
´
({)