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Diérences divisées
(4) Les diérences divisées s’expriment comme une somme
i [{ 0 >===>{ q ]=
q
X
m=0
i ({ m )
0
q ({ m )
où
0
q ({) est la dérivée de q ({)=({ { 0 )({ { 1 ) ···({ { q )> c’est-à-dire
0
q ({ n )=({ n { 0 ) ···({ n { n1 )({ n { n+1 ) ···({ n { q )
La vérification de ces propriétés est facile. La première propriété résulte du
fait que S n S n1 est un polynôme de degré inférieur ou égal à n admettant
i [{ 0 >===>{ n ] comme diérence divisée
S n ({) S n1 ({)=i [{ 0 >===>{ n ]({ { 0 )({ { 1 ) ···({ { n )
En sommant sur l’indice n de 1 à q et en remarquant que i [{ 0 ]=i ({ 0 )
on en déduit (1).
La deuxième propriété se démontre en considérant S le polynôme d’interpolation de i aux points { 0 >===>{ n , T le polynôme d’interpolation de i
aux points { 0 >===>{ n1 et U le polynôme d’interpolation de i aux points
{ 1 >===>{ n . Les expressions suivantes
S ({)=T({)+
{ { 0
{ n { 0
(U({) T({)) =
({ { 0 )U({) ({ { n )T({)
{ n { 0
sont vraies, car les deux membres coïncident pour les valeurs { 0 >===>{ n ,et
par unicité du polynôme sont donc égales pour tout {. L’équation précédente, écrite pour { = { n > conduit à la formule proposée.
Formule d’Hermite-Genocchi . Soit i unefonctiondeclasseF
q
,ladiérence
divisée s’écrit sous forme intégrale
i [{ 0 >===>{ q ]=
R 1
0
gx 1
R 1x1
0
gx 2
R 1x1x2
0
gx 3 ===
===
R 1x 1 ===x q1
0
i
(q) ({ 0 +({ 1 { 0 )x 1 + ···+({ q { 0 )x q ) gx q
Cette formule se démontre par récurrence sur q.S iq =1,o na
Z 1
0
i
0 ({ 0 +({ 1 { 0 )x 1 )gx 1 =
i ({ 1 ) i ({ 0 )
{ 1 { 0
= i [{ 0 >{ 1 ]
Supposons que la formule soit vraie jusqu’à l’ordre (q 1). En intégrant,
on obtient
Z 1
0
gx 1
Z 1x1
0
gx 2 ===
Z 1x 1 ===x q1
0
i
(q) ({ 0 +({ 1 { 0 )x 1 + ···+({ q { 0 )x q ) gx q