2. Approximation et interpolation
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d’interpolation augmente, les valeurs de l’interpolation de Lagrange se
confondent avec la courbe de i ({), sauf au voisinage des bornes de l’intervalle, empêchant la convergence d’être uniforme. Plus on augmente le
degré du polynôme de Lagrange, plus la diérence au voisinage des bornes
de l’intervalle entre la courbe i ({) et le polynôme d’interpolation augmente.
Dans l’interpolation de Tchebychev (graphe de droite), la convergence est
uniforme. Lorsque le nombre de points d’interpolation augmente, la courbe
polynomiale se confond avec la fonction.
2.4 Diérences divisées
Au XVI
h
siècle, les mathématiciens utilisaient des valeurs numériques
tabulées à partir desquelles ils pratiquaient l’interpolation linéaire pour
évaluer des valeurs intermédiaires. Cette technique n’étant pas toujours
su!samment précise, les méthodes de calcul à l’aide des diérences finies se
sont développées. Thomas Harriot (1560-1621), Henry Briggs (1561-1630),
James Gregory (1638-1675) et Isaac Newton (1642-1727) ont élaboré la
théorie des diérences divisées.
Soit i une fonction continue de [d> e] dans U et { 0 ?{ 1 ?= = =?{ q
une subdivision de l’intervalle [d> e] > on appelle diérence divisée d’ordre n
de i et on note i [{ 0 >===>{ q ] le coe!cient de {
q
dans l’unique polynôme
d’interpolation de Lagrange S q de degré inférieur ou égal à q vérifiant
S q ({ l )=i ({ l ) pour 0 l q=
Les propriétés des diérences divisées sont les suivantes :
(1) Formule de Newton. Le polynôme d’interpolation, appelé dans ce cas
polynôme d’interpolation de Newton, s’écrit
S q ({)=i ({ 0 )+
q
X
m=0
i [{ 0 >===>{ m ]({ { 0 ) ···({ { m1 )
(2) Les diérences divisées s’expriment comme une diérence
;n 5 Q
>i [{ 0 >===>{ n ]=
i [{ 1 >===>{ n ] i [{ 0 >===>{ n1 ]
{ n { 0
(3) Formule de Leibniz .S o i ti> j> k trois fonctions définies sur l’intervalle
[d> e] et telles que i = jk, alors
i [{ 0 >===>{ q ]=
q
X
m=0
j [{ 0 >===>{ m ] k [{m>===>{ q ]