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Interpolation de Tchebychev
Les points de Tchebychev sur un intervalle [d> e] quelconque sont définis
par un simple changement de variables :
{ l =
d + e
2
+
e d
2
cos
µ 2(q l)+1
2q +2
¶
0 l q
L’interpolation de Tchebychev est l’interpolation de Lagrange de i prise
aux points de Tchebychev. L’erreur commise dans une interpolation de
Tchebychev vérifie
U q ({)=i ({) S q ({)=2
µ e d
4
¶ q+1 i
(q+1) (f)
(q +1)!
Phénomène de Runge. On pourrait croire que la convergence du polynôme
de Lagrange est d’autant meilleure que l’écart entre les points d’interpolation est plus petit. En réalité, il n’en est rien et Carl Runge (1856-1927) a
montré en 1901 que quand q croît indéfiniment, le polynôme de Lagrange
ne converge pas toujours vers la fonction interpolée en tous points. La divergence s’observe aux bords de l’intervalle : la convergence n’est pas uniforme. En revanche, dans l’interpolation de Tchebychev, il y a convergence
uniforme, mais cette méthode impose à l’utilisateur le choix des points
d’interpolation. Considérons la fonction
i ({)=
1
1+{ 2
{ 5 [5> 5]
et les graphes dans les deux interpolations :
Ces graphes montrent un comportement diérent : c’est le phénomène
de Runge. Sur chaque graphe, nous avons tracé la fonction i en trait
plein et les polynômes d’interpolation de i pour q =8et q =1 0 .D a n s
l’interpolation de Lagrange (graphe de gauche), les points d’interpolation
({ l = 5+10l@q) sont régulièrement espacés. Lorsque le nombre de points