2. Approximation et interpolation
39
Les équations S
(m)
p ({ l )=i
(m) ({ l ) forment un système linéaire à (q +1)
inconnues que sont les coe!cients de S p .Ilsu!tdemontrerquelesystème
homogène défini par les relations S
(m)
p ({ l )=0admet une solution unique,
le vecteur nul. Ces relations impliquent que chaque { l est racine d’ordre
n l +1 du polynôme S p . Par conséquent, S p se met sous la forme
S p ({)=t({)
q
Y
l=0
({ { l )
nl+1
où t({) est un polynôme. La somme (n 0 +1)+··· +(n q +1) = p +1
montre que S p ne peut être un polynôme de degré p que si t est nul.
Par conséquent, S p est nul. CQFD.
Le résultat suivant permet une évaluation de l’erreur dans le cas de l’interpolation d’Hermite. Soit i une fonction de classe C
p+1
sur [d> e], { 0 >{ 1 > ===>
{ q (q +1) points distincts de l’intervalle [d> e] et (n +1) entiers naturels
n 0 >n 1 >===>n q .O nn o t ep l’entier p = q + n 0 + ···+ n q et S p le polynôme
d’interpolation d’Hermite de i aux points { 0 >{ 1 > ===> { q .A lors,ilexisteune
constante f (dépendant de {) élément du plus petit intervalle contenant
{ 0 >{ 1 > ===> { q et { tel que l’erreur d’interpolation soit égale à
U p ({)=i ({) S p ({)=({ { 0 )
n 0 +1 ···({ { q )
n q +1 i
(p+1) (f)
(p +1)!
Cette erreur est majorée par
|U p ({)|
¯
¯ ({ { 0 )
n0+1 ···({ { q )
nq+1
¯
¯
(p +1)!
max
{5[d>e]
¯
¯
¯i
(p+1) ({)
¯
¯
¯
2.3 Interpolation de Tchebychev
Contrairement aux interpolations précédentes dans lesquelles l’utilisateur
peut choisir sa subdivision, l’interpolation de Pafnouti Tchebychev (18211894) impose une subdivision { 0 >{ 1 > ===> { q de l’intervalle [d> e] en des points
appelés points de Tchebychev. L’interpolation utilise les polynômes orthogonaux de Tchebychev, seul cas (parmi les polynômes usuels) où les zéros
des polynômes sont connus explicitement. L’interpolation de Tchebychev
est encore appelée interpolation de Lagrange aux points de Tchebychev, car
il s’agit d’une interpolation de Lagrange réalisée en des points particuliers.
Les points d’interpolation de Tchebychev d’ordre q sur l’intervalle [1> 1]
sont les racines du polynôme de Tchebychev, qui correspondent aux points
x l =cos
2(q l)+1
2q +2
0 l q
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Les équations S
(m)
p ({ l )=i
(m) ({ l ) forment un système linéaire à (q +1)
inconnues que sont les coe!cients de S p .Ilsu!tdemontrerquelesystème
homogène défini par les relations S
(m)
p ({ l )=0admet une solution unique,
le vecteur nul. Ces relations impliquent que chaque { l est racine d’ordre
n l +1 du polynôme S p . Par conséquent, S p se met sous la forme
S p ({)=t({)
q
Y
l=0
({ { l )
nl+1
où t({) est un polynôme. La somme (n 0 +1)+··· +(n q +1) = p +1
montre que S p ne peut être un polynôme de degré p que si t est nul.
Par conséquent, S p est nul. CQFD.
Le résultat suivant permet une évaluation de l’erreur dans le cas de l’interpolation d’Hermite. Soit i une fonction de classe C
p+1
sur [d> e], { 0 >{ 1 > ===>
{ q (q +1) points distincts de l’intervalle [d> e] et (n +1) entiers naturels
n 0 >n 1 >===>n q .O nn o t ep l’entier p = q + n 0 + ···+ n q et S p le polynôme
d’interpolation d’Hermite de i aux points { 0 >{ 1 > ===> { q .A lors,ilexisteune
constante f (dépendant de {) élément du plus petit intervalle contenant
{ 0 >{ 1 > ===> { q et { tel que l’erreur d’interpolation soit égale à
U p ({)=i ({) S p ({)=({ { 0 )
n 0 +1 ···({ { q )
n q +1 i
(p+1) (f)
(p +1)!
Cette erreur est majorée par
|U p ({)|
¯
¯ ({ { 0 )
n0+1 ···({ { q )
nq+1
¯
¯
(p +1)!
max
{5[d>e]
¯
¯
¯i
(p+1) ({)
¯
¯
¯
2.3 Interpolation de Tchebychev
Contrairement aux interpolations précédentes dans lesquelles l’utilisateur
peut choisir sa subdivision, l’interpolation de Pafnouti Tchebychev (18211894) impose une subdivision { 0 >{ 1 > ===> { q de l’intervalle [d> e] en des points
appelés points de Tchebychev. L’interpolation utilise les polynômes orthogonaux de Tchebychev, seul cas (parmi les polynômes usuels) où les zéros
des polynômes sont connus explicitement. L’interpolation de Tchebychev
est encore appelée interpolation de Lagrange aux points de Tchebychev, car
il s’agit d’une interpolation de Lagrange réalisée en des points particuliers.
Les points d’interpolation de Tchebychev d’ordre q sur l’intervalle [1> 1]
sont les racines du polynôme de Tchebychev, qui correspondent aux points
x l =cos
2(q l)+1
2q +2
0 l q