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Interpolation d’Hermite
2.2 Interpolation d’Hermite
Charles Hermite (1822-1901) a généralisé l’interpolation de Lagrange en
faisant coïncider non seulement i et S q aux points { l , mais aussi leurs
dérivées d’ordre n l aux points { l .
Soit { 0 >{ 1 >===>{ q (q +1) points distincts de l’intervalle [d> e] et i une
fonction définie sur [d> e] admettant des dérivées jusqu’à l’ordre n l aux
points { l .Onposep = q + n 0 + n 1 + ···+ n q = Il existe un polynôme unique
S p de degré p appelé polynôme d’interpolation d’Hermite tel que :
S
(m)
p ({ l )=i
(m) ({ l )
;l =0>===>q ;m =0>===>n l
L’interpolation de Lagrange est un cas particulier de l’interpolation d’Hermite (n 0 = n 1 = ··· = n q =0). Le polynôme d’Hermite est donné par
S p ({)=
q
X
l=0
nl
X
m=0
i
(m) ({ l )k lm ({)
Les polynômes k lm sont donnés par les relations de récurrence définies pour
tout m =0> 1>===>n l 1
k lm ({)=
({ { l )
m
m!
t l ({)
nl
X
n=m+1
F
m
n t
(nm)
l
({ l )k ln ({)
et
k ln l ({)=
({ { l )
nl
n l !
t l ({)
avec
t l ({)=
q
Y
o=0
o6 =l
µ { { o
{ l { o
¶ n o +1
Dans le cas n 0 = n 1 = === = n q =1, on a les expressions suivantes
S p ({)=
q
X
l=0
u l ({)i ({)+v l ({)i
0 ({)
avec
u l ({)=(1 2({ { l )o
0
l ({))o
2
l ({)
et
v l ({)=({ { l )o
2
l ({)
où o l ({) est le polynôme de Lagrange.