2. Approximation et interpolation
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valeur { l est racine du polynôme T q S q . Le polynôme T q S q ad o n c
au moins (q +1 ) racines distinctes et est de degré q. Par conséquent,
T q S q =0 = Pour démontrer l’existence du polynôme d’interpolation de
Lagrange, on peut aussi chercher analytiquement un polynôme de la forme
S q ({)=d q {
q + ···+ d 1 { + d 0
satisfaisant les relations S q ({ l )=i ({ l ). Ce qui revient à résoudre le système linéaire
3
E
E
E
C
1 { 0 {
2
0
··· {
q
0
1 { 1 {
2
1
{
q
1
. . .
. . .
. . .
. . .
1 { q {
2
q ··· {
q
q
4
F
F
F
D
3
E
E
E
C
d 0
d 1
. . .
d q
4
F
F
F
D
=
3
E
E
E
C
i ({ 0 )
i ({ 1 )
. . .
i ({ q )
4
F
F
F
D
Ce système admet une solution unique, car son déterminant, qui est un
déterminant de Vandermonde, est non nul. CQFD.
Pour évaluer l’erreur d’interpolation, considérons S q le polynôme d’interpolation de i aux points { 0 >{ 1 > ===> { q et supposons que i soit de classe C
q+1
.
Il existe alors une constante f élément du plus petit intervalle contenant
{ 0 >{ 1 > ===> { q et { tel que l’erreur d’interpolation soit égale à
U q ({)=i ({) S q ({)=({ { 0 ) ···({ { q )
i
(q+1) (f)
(q +1)!
Cette erreur est majorée par
|U q ({)|
({ q { 0 )
q+1
(q +1)!
max
{5[d>e]
¯
¯
¯i
(q+1) ({)
¯
¯
¯
La vérification de ce majorant est facile. Posons
q ({)=
q
Y
m=0
({ { m )
et considérons la fonction w 7 $ j(w) définie pour { 6 = { l par
j(w)=i (w) S q (w) (i ({) S q ({))
q (w)
q ({)
j admet (q +2) zéros aux points {> { 0 >{ 1 >===>{ q . D’après le théorème de
Rolle, la fonction j
(q+1) (w) au nz é r oe nu nc e r t a i np o i n tf vérifiant
j
(q+1) (f)=i
(q+1) (f) (i ({) S q ({))
(q +1)!
q ({)
=0
d’où
U q ({)=i ({) S q ({)= q ({)
i
(q+1) (f)
(q +1)!
Cette expression qui est démontrée pour { 6 = { l est aussi vraie pour { = { l ;
ce qui termine la démonstration.