36
Interpolation de Lagrange
régulière par un polynôme de degré q. Rappelons que la série de Taylor
d’une fonction peut ne pas converger et que, si elle converge, elle peut
converger vers une quantité diérente de la fonction initiale (par exemple,
i ({)=h{s(1@{
2 ) au voisinage de l’origine). Publiée pour la première
fois par Brook Taylor (1685-1731) en 1715, puis reprise par Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813), et démontrée avec reste intégral par Augustin-Louis
Cauchy (1789-1857), la formule de Taylor conduit à une estimation de l’erreur dans l’approximation d’une fonction par un polynôme de Lagrange.
Soit i une fonction continue d’un intervalle [d> e] dans R et { 0 >{ 1 > ===> { q
(q +1) points distincts de l’intervalle [d> e]. Considérons les polynômes de
degré q définis par
o l ({)=
q
Y
m=0
m6 =l
({ { m )
({ l { m )
0 l q
Ces polynômes sont appelés les polynômes de Lagrange.I ln ef a u tp a s
les confondre avec le polynôme d’interpolation de Lagrange S q (voir cidessous). En posant
q ({)=
q
Y
m=0
({ { m )
Les polynômes de Lagrange s’écrivent de manière plus simple, sous la forme
;{ 6 = { l
o l ({)=
q ({)
({ { l ) 0
q ({ l )
On démontre le résultat suivant : Toute fonction continue sur un intervalle
b o r n ée tc o n n u ee n( q +1) points distincts peut être approchée par un
polynôme qui coïncide avec cette fonction en ces (q +1)po i n t s.S ii :[d> e]
$ U est une fonction continue et si { 0 >{ 1 > ===> { q sont (q+1) points distincts
de l’intervalle [d> e] > alors il existe un unique polynôme S q de degré q appelé
polynôme d’interpolation de Lagrange, dont la valeur coïncide avec i aux
points { l , c’est-à-dire vérifiant S q ({ l )=i ({ l ), et qui est donné par la
formule
S q ({)=
q
X
l=0
o l ({)i ({ l )
Il est facile de vérifier ce résultat. En eet, le polynôme S q vérifie l’égalité
S q ({ l )=i ({ l )> car les polynômes de Lagrange satisfont o l ({ m )= lm où lm
est le symbole de Kronecker ( lm =0si l 6 = m et ll =1 ), ce qui prouve
l’existence de ce polynôme. Pour montrer l’unicité, supposons qu’il existe
un polynôme T q de degré q vérifiant T q ({ l )=S q ({ l )=i ({ l ).C h a q u e
Interpolation de Lagrange
régulière par un polynôme de degré q. Rappelons que la série de Taylor
d’une fonction peut ne pas converger et que, si elle converge, elle peut
converger vers une quantité diérente de la fonction initiale (par exemple,
i ({)=h{s(1@{
2 ) au voisinage de l’origine). Publiée pour la première
fois par Brook Taylor (1685-1731) en 1715, puis reprise par Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813), et démontrée avec reste intégral par Augustin-Louis
Cauchy (1789-1857), la formule de Taylor conduit à une estimation de l’erreur dans l’approximation d’une fonction par un polynôme de Lagrange.
Soit i une fonction continue d’un intervalle [d> e] dans R et { 0 >{ 1 > ===> { q
(q +1) points distincts de l’intervalle [d> e]. Considérons les polynômes de
degré q définis par
o l ({)=
q
Y
m=0
m6 =l
({ { m )
({ l { m )
0 l q
Ces polynômes sont appelés les polynômes de Lagrange.I ln ef a u tp a s
les confondre avec le polynôme d’interpolation de Lagrange S q (voir cidessous). En posant
q ({)=
q
Y
m=0
({ { m )
Les polynômes de Lagrange s’écrivent de manière plus simple, sous la forme
;{ 6 = { l
o l ({)=
q ({)
({ { l ) 0
q ({ l )
On démontre le résultat suivant : Toute fonction continue sur un intervalle
b o r n ée tc o n n u ee n( q +1) points distincts peut être approchée par un
polynôme qui coïncide avec cette fonction en ces (q +1)po i n t s.S ii :[d> e]
$ U est une fonction continue et si { 0 >{ 1 > ===> { q sont (q+1) points distincts
de l’intervalle [d> e] > alors il existe un unique polynôme S q de degré q appelé
polynôme d’interpolation de Lagrange, dont la valeur coïncide avec i aux
points { l , c’est-à-dire vérifiant S q ({ l )=i ({ l ), et qui est donné par la
formule
S q ({)=
q
X
l=0
o l ({)i ({ l )
Il est facile de vérifier ce résultat. En eet, le polynôme S q vérifie l’égalité
S q ({ l )=i ({ l )> car les polynômes de Lagrange satisfont o l ({ m )= lm où lm
est le symbole de Kronecker ( lm =0si l 6 = m et ll =1 ), ce qui prouve
l’existence de ce polynôme. Pour montrer l’unicité, supposons qu’il existe
un polynôme T q de degré q vérifiant T q ({ l )=S q ({ l )=i ({ l ).C h a q u e