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Approximation et interpolation
Dans les problèmes numériques, on substitue très souvent une fonction
i ({) connue en un nombre fini de points { 0 >{ 1 > ===> { q par une fonction S ({)
plus simple et facilement calculable : c’est l’approximation. En termes mathématiques, l’approximation consiste à minimiser la distance qui sépare
les fonctions i ({) et S ({).L’interpolation impose de plus que les fonctions
i ({) et S ({) coïncident aux points { m . Lorsque la fonction S ({) représente la fonction i ({) décrite par un ensemble de points expérimentaux
({ m >i({ m )), on parle de lissage. L’approximation d’une fonction est liée aux
problèmes de représentation des fonctions comme limites de fonctions plus
simples (développements en série, développements en série de Fourier, représentations intégrales, etc.). En pratique, on cherche à construire une
suitedefonctionsi q ({) qui converge vers la fonction de base i ({). Lorsque
les fonctions i q ({) sont des polynômes, on parle d’approximation polynomiale. L’approximation polynomiale est une des plus utilisées, car il est
facile de rendre l’erreur d’approximation arbitrairement petite en augmentant le degré du polynôme. Elle se fonde sur le théorème de Weierstrass
(1866) qui a!rme que toute fonction continue sur un intervalle [d> e] est
limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales.
2.1 Interpolation de Lagrange
L’approximation polynomiale, fondée en général sur le développement en
série de Taylor, permet d’approcher une fonction i su!samment
Approximation et interpolation
Dans les problèmes numériques, on substitue très souvent une fonction
i ({) connue en un nombre fini de points { 0 >{ 1 > ===> { q par une fonction S ({)
plus simple et facilement calculable : c’est l’approximation. En termes mathématiques, l’approximation consiste à minimiser la distance qui sépare
les fonctions i ({) et S ({).L’interpolation impose de plus que les fonctions
i ({) et S ({) coïncident aux points { m . Lorsque la fonction S ({) représente la fonction i ({) décrite par un ensemble de points expérimentaux
({ m >i({ m )), on parle de lissage. L’approximation d’une fonction est liée aux
problèmes de représentation des fonctions comme limites de fonctions plus
simples (développements en série, développements en série de Fourier, représentations intégrales, etc.). En pratique, on cherche à construire une
suitedefonctionsi q ({) qui converge vers la fonction de base i ({). Lorsque
les fonctions i q ({) sont des polynômes, on parle d’approximation polynomiale. L’approximation polynomiale est une des plus utilisées, car il est
facile de rendre l’erreur d’approximation arbitrairement petite en augmentant le degré du polynôme. Elle se fonde sur le théorème de Weierstrass
(1866) qui a!rme que toute fonction continue sur un intervalle [d> e] est
limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales.
2.1 Interpolation de Lagrange
L’approximation polynomiale, fondée en général sur le développement en
série de Taylor, permet d’approcher une fonction i su!samment