1. Problèmes numériques
31
Le conditionnement mesure l’éparpillement relatif ( max @ min )desv aleurs
propres. Dans l’exemple qui précéde, les valeurs numériques donnent un
conditionnement égal à frqg 2 (D) ' 645.S io np o s e
{ =
3
C
1
1
1
4
D
{ =
3
C
5=23
5=73
5=69
4
D
e =
3
C
44
23
27
4
D
e =
3
C
0=44
0=23
0=27
4
D
Les calculs montrent que
k{k
k{k
'
9=62
1=73
' 5=55 et (D)
kek
kek
' 645 0=01 ' 6=45
l’égalité est presque satisfaite.
Une matrice est dite bien équilibrée si ses vecteurs lignes et ses vecteurs
colonnes ont une norme de l’ordre de grandeur de l’unité. Une matrice est
dite bien conditionnée si son conditionnement est de l’ordre de grandeur de
l’unité. Remarquons qu’une matrice équilibrée peut être mal conditionnée.
La matrice suivante, matrice carrée d’ordre 100, écrite sous sa forme de
Jordan
D =
3
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
C
1@21
0=== === ===
0
01 @21
0 === ===
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
00 1 @21
0
0
=== === ===
01 @21
0
=== === === ===
01 @2
4
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
D
est équilibrée et mal conditionnée. En eet, sa plus petite valeur propre est
1/2. Son inverse est formé d’éléments e lm . L’élément e 1>100 =2
100 10
30
montre que
°
° D
1
°
° A 10
30
et comme kDk
1
s
q
kDk h A 1> 1 on en déduit
que le conditionnement de D excède 10
30 =
On appelle matrice de Hilbert une matrice symétrique d’ordre q dont les
éléments sont donnés par :
k lm =
1
l + m 1
Pour les ordres 2 et 3, les matrices de Hilbert s’écrivent
K 2 =
µ
11 @2
1@21 @3
¶
K 3 =
3
C
11 @21 @3
1@21 @31 @4
1@31 @41 @5
4
D