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Conditionnement
frqg 2 (D) 0
(2) Le conditionnement de la matrice ne varie pas lorsqu’on multiplie la
matrice par un scalaire
; 5 C>f r q g 2 (D)=frqg 2 (D)
(3) Le conditionnement est invariant par transformation unitaire. Pour
toute matrice unitaire X ,o na
frqg 2 (DX )=frqg 2 (XD)=frqg 2 (D)
(4) Soit
2
max la plus grande et
2
min la plus petite des valeurs propres de
la matrice D
D> on a alors
frqg 2 (D)=
max
min
(5) Si D est une matrice hermitienne et si max et min désignent respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs propres de D en valeur
absolue, on a :
frqg 2 (D)=
max
min
La vérification de ces propriétés est immédiate. La propriété (1) s’établit
en considérant le produit L = D=D
1
kDk =
°
° D
1
°
°
°
° DD
1
°
° = kLk =1
La propriété (2) est une conséquence directe des axiomes de définition d’une
norme. La propriété (3) résulte de
frqg 2 (X=D)=kX=Dk =
°
° D
1 X
°
° = kDk =
°
° D
1
°
° = frqg 2 (D)
Pour démontrer la propriété (4) remarquons que
kDk
2 = (D
D)=sup
l
l (D
D)=
2
max
les matrices D
D et DD
étant semblables
°
° D
1
°
°
2 = ((DD
)
1 )=((D
D)
1 )
=s u p
l
l (D
D)
1 =
1
inf
l
l (D D)
=
1
2
min
La propriété (5) résulte de l’égalité kDk = (D) vérifiée pour les matrices
normales.