1. Problèmes numériques
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Comme
°
° D
1 =e
°
° = k{k
kek
kDk , on a une majoration de l’erreur relative
k{k
k{k
(D)
1 (D)
kDk
kDk
µ kek
kek
+
kDk
kDk
¶
si la constante (D)=kDk =
°
° D
1
°
° vérifie (D)
kDk
kDk ? 1
Soit D une matrice inversible, on appelle conditionnement de D,lenom bre
(D)=kDk =
°
° D
1
°
°
Ce nombre dépend du choix de la norme : il y a autant de définitions du
conditionnement que de normes matricielles. La norme standard, appelée
la 1-norme,
kDk 1 =s u p
m
X
l
|d lm |
frqg 1 (D)=kDk 1
°
° D
1
°
°
1
est définie par le maximum de la somme des modules des éléments d’une
ligne. La 2-norme définie par
kDk = kD
k =
p
(DD )=
p
(D D)
où (D) est le rayon spectral de D> c’est-à-dire le plus grand des modules
des valeurs propres de D. Le conditionnement est noté
frqg 2 (D)=kDk 2
°
° D
1
°
°
2
La 2-norme vérifie les inégalités
kDk 2 kDk h
s
q kDk 2
Pour la norme euclidienne ou norme de Frobenius
kDk h =
s X
l>m
|d lm |
2
Le nombre de conditionnement est de la forme
frqg h (D)=kDk h
°
° D
1
°
°
h
Pour une matrice carrée D d’ordre q, le conditionnement pour la 2-norme
a les propriétés suivantes :
(1) Le conditionnement est un nombre positif