1. Problèmes numériques
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Si q tend vers l’infini, en w =0 , x tend uniformément vers 0 ainsi que sa
dérivée partielle en temps alors que x({> w) diverge dans chaque région pour
wA0 : le problème est instable au sens de Hadamard.
Exemple 5. Considérons l’équation diérentielle :
½
x
0 ({)=x({) 1
x(0) = 0
Cette équation admet comme solution x({)=h
{ 1= Si la condition initiale
est donnée par x(0) = %, la solution est alors y({)=(1+%)h
{ 1= De sorte
que la diérence s’écrit : y({)x({)=%h
{ = Si { varie dans l’intervalle [0> 30] >
on a y(30)x(30) = %h
30 ' 10
13 %= Si la précision des calculs est de 10
10
,le
problème est numériquement mal posé, bien que mathématiquement bien
posé.
Un problème est dit numériquement raide si sa solution par une méthode
numérique ne peut être donnée en un temps raisonnable. Dans un problème
raide (sti, en anglais) les variables calculées évoluent lentement, malgré
un pas d’intégration petit. Ce phénomène est courant dans les méthodes
explicites du type Runge-Kutta ou Adams. De plus, il apparaît souvent
des instabilités, sous la forme d’oscillations qui font diverger l’algorithme.
Lorsque le système est raide, il faut suivre la plus petite échelle de temps
du système pour s’assurer de la stabilité de la méthode, comme le montre
l’exemple suivant.
Exemple 6.S o i t un réel A2. Considérons le système d’équations diérentielles
½
x
0 =( 2)x +2( 1)y
y
0 =(1 )x +(2 1)y
avec pour conditions initiales, x(0) = 1 et y(0) = 0.C es y s t è m ea d m e t
comme solutions exactes x({)=2 h
{ h
{
et y({)=h
{ + h
{
.I la
deux échelles de temps données par les deux exponentielles. Si on choisit
= 10000> on constate que bien que le terme h
{
soit négligeable dans
la solution exacte, il introduit une instabilité dans la solution numérique.
Pour que la méthode soit stable, il faut que le pas de temps choisi soit très
inférieur à 1@. Ce phénomène est caractéristique des systèmes raides.
1.7 Conditionnement
Le conditionnement mesure l’influence des erreurs d’arrondi sur la solution d’un problème donné. Il est mis en évidence par une légère perturbation des données initiales. C’est une notion générale qui s’applique aussi
bien aux racines d’un polynôme vis-à-vis de la variation de ses coe!cients
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Si q tend vers l’infini, en w =0 , x tend uniformément vers 0 ainsi que sa
dérivée partielle en temps alors que x({> w) diverge dans chaque région pour
wA0 : le problème est instable au sens de Hadamard.
Exemple 5. Considérons l’équation diérentielle :
½
x
0 ({)=x({) 1
x(0) = 0
Cette équation admet comme solution x({)=h
{ 1= Si la condition initiale
est donnée par x(0) = %, la solution est alors y({)=(1+%)h
{ 1= De sorte
que la diérence s’écrit : y({)x({)=%h
{ = Si { varie dans l’intervalle [0> 30] >
on a y(30)x(30) = %h
30 ' 10
13 %= Si la précision des calculs est de 10
10
,le
problème est numériquement mal posé, bien que mathématiquement bien
posé.
Un problème est dit numériquement raide si sa solution par une méthode
numérique ne peut être donnée en un temps raisonnable. Dans un problème
raide (sti, en anglais) les variables calculées évoluent lentement, malgré
un pas d’intégration petit. Ce phénomène est courant dans les méthodes
explicites du type Runge-Kutta ou Adams. De plus, il apparaît souvent
des instabilités, sous la forme d’oscillations qui font diverger l’algorithme.
Lorsque le système est raide, il faut suivre la plus petite échelle de temps
du système pour s’assurer de la stabilité de la méthode, comme le montre
l’exemple suivant.
Exemple 6.S o i t un réel A2. Considérons le système d’équations diérentielles
½
x
0 =( 2)x +2( 1)y
y
0 =(1 )x +(2 1)y
avec pour conditions initiales, x(0) = 1 et y(0) = 0.C es y s t è m ea d m e t
comme solutions exactes x({)=2 h
{ h
{
et y({)=h
{ + h
{
.I la
deux échelles de temps données par les deux exponentielles. Si on choisit
= 10000> on constate que bien que le terme h
{
soit négligeable dans
la solution exacte, il introduit une instabilité dans la solution numérique.
Pour que la méthode soit stable, il faut que le pas de temps choisi soit très
inférieur à 1@. Ce phénomène est caractéristique des systèmes raides.
1.7 Conditionnement
Le conditionnement mesure l’influence des erreurs d’arrondi sur la solution d’un problème donné. Il est mis en évidence par une légère perturbation des données initiales. C’est une notion générale qui s’applique aussi
bien aux racines d’un polynôme vis-à-vis de la variation de ses coe!cients