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Problèmes bien posés, problèmes raides
admet aucune solution si x 0 6 = y 0 et une infinité de solutions si x 0 = y 0 de
la forme x({)=x 0 { + f,o ùf est une constante arbitraire. Le problème,
qui n’admet pas de solution unique, est donc mal posé.
Exemple 2. Le problème de Cauchy pour { 0
½
x
0 ({)=2
p
|x({)|
x(0) = 0
admet une infinité de solutions de la forme :
½
x({)=0
{ 5 [0>d]
x({)=({ d)
2
{ 5 [d> 4[
La quantité d étant arbitraire, le problème est mal posé.
Exemple 3. Considérons le problème suivant
;
A A A A A A A ?
A A A A A A A =
C
2 x
C{ 2 +
C
2 x
C| 2 =0
{ 5 [0> 1] >| 5 [0> 1]
x({> 0) = 0
Cx
C|
({> 0) =
q
sin(q{)
q =1> 2>===
Les fonctions
x q ({> |)=
1
q 2 sin(q{)vk(q|)
sont solutions du système précédent. Or, pour chaque valeur de q,o npe u t
trouver un nombre { q 5 [0> 1] tel que sin(q{ q )=1vérifiant :
lim
q$4
sup |x q ({> |)| = 4
Ce qui prouve que les solutions de (S ) ne dépendent pas continûment des
données initiales.
Exemple 4.L ep r o b l è m ed eC a u c h y
;
A A A A A A A ?
A A A A A A A =
C
2 x
Cw 2 +
Cx
C{
=0
x({> 0) = 0
Cx
Cw
({> 0) =
1
q
h
q
2 {
admet une solution de la forme
x({> w)=
1
q 2
h
qw h
qw
2
h
q
2 {