A. Polynômes orthogonaux
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(6) Formules d’intégration
Z {
0
K q (w)h
w
2 gw = K q1 (0) h
{
2 K q1 ({)
Z {
0
K q (w)gw =
1
2(q +1)
(K q+1 ({) K q+1 (0))
Z +4
4
K 2q (w{)h
w
2 gw =
s
(2q)!
q!
({
2 1)
q
Z +4
4
wh
w
2 K 2q+1 (w{)gw =
s
(2q +1)!
q!
{({
2 1)
q
A.5 Polynômes de Gegenbauer
Les polynômes de Gegenbauer J
()
q de degré q, sont les polynômes définis
par la relation de récurrence pour A1@2
(q +1)J
()
q+1 ({)=2(q + )J
()
q ({) (q +2 1)J
()
q1 ({)
et les conditions d’initialisation
J
()
0 ({)=1 J
()
1 ({)=2{ si 6 =0 J
(0)
1 ({)=2{
Les premiers polynômes sont pour =1
J 0 ({)=1
J 1 ({)=2{
J 2 ({)=4{
2 1
J 3 ({)=8{
3 4{
J 4 ({)=16{
4 12{
2 +1
J 5 ({)=32{
5 32{
3 +6{
J 6 ({)=64{
6 80{
4 +24{
2 1
(1) Les polynômes de Gegenbauer sont solutions de l’équation diérentielle
(1 {
2 )|
00 (2 +1){|
0 + q(q +2)| =0
(2) Les polynômes de Gegenbauer vérifient les relations de récurrence
(1 {
2 )
gJ
()
q
g{
({)=q{J
()
q ({)+(q +2 1)J
()
q1 ({)
(q + )J
(1)
q+1 ({)=( 1)
³
J
()
q+1 ({) J
()
q1 ({)
´