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Polynômes d’Hermite
pour lesquelles W q ({
n )=1,lepolynômedeTchebychevdedegréq admet
exactement q racines réelles données par
cos
µ (2n +1)
2q
¶
n =0> 1>===>q 1
A.4 Polynômes d’Hermite
Les polynômes d’Hermite d’ordre n sont les polynômes définis par la
relation de récurrence
K q+1 ({)=2{K q ({) 2qK q1 ({)
et les conditions d’initialisation
K 0 ({)=1 K 1 ({)=2{
Les premiers polynômes sont
K 0 ({)=1
K 1 ({)=2{
K 2 ({)=4{
2 2
K 3 ({)=8{
3 12{
K 4 ({)=16{
4 48{
2 +12
K 5 ({)=32{
5 160{
3 + 120{
K 6 ({)=64{
6 480{
4 + 720{
2 120
(1) Les polynômes d’Hermite satisfont l’équation diérentielle
|
00 2{|
0 +2q| =0
(2) Les polynômes d’Hermite vérifient la relation de récurrence
K
0
q ({)=2qK q1 ({)
(3) Formule de Rodrigues
K q ({)=(1)
q h
{
2 g
q
g{ q (h
{
2 )
(4) Majorations
|K q ({)| ?h
{
2 @2 n2
q@2
s
q!
dyhf
n ' 1> 086435===
(5) Les polynômes d’Hermite sont des polynômes orthogonaux relativement
à la fonction de poids $({)=h
{
2
Z +4
4
K q ({)K p ({)h
{
2 g{ =
s
2
q q! q>p