A. Polynômes orthogonaux
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W q ({) est un polynôme de degré q dont le coe!cient de plus haut degré est
2
q1
vérifiant
W q (1) = 1 ;q
Ces polynômes vérifient la relation
W q ({)=(1)
q W q ({)
(2) Les polynômes de Tchebychev sont solutions de l’équation diérentielle
(1 {
2 )|
00 {|
0 + q
2 | =0
(3) Les polynômes de Tchebychev satisfont la relation de récurrence
(1 {
2 )W
0
q ({)=q{W q ({)+qW q1 ({)
(4) Pour l =0>===>q la relation du produit de deux polynômes
2W l ({)W q ({)=W q+l ({)+W ql ({)
(5) Majorations
;{ 5 [1> 1] >
|W q ({)| 1
;{ 5 [1> 1] >
¯
¯
¯
¯
gW q ({)
g{
¯
¯
¯
¯ q
2
(6) Les polynômes de Tchebychev sont des polynômes orthogonaux relativement à la fonction de poids définie sur l’intervalle [1> 1]
$({)=
1
s
1 { 2
Z +1
1
W q ({)W p ({)
g{
s
1 { 2
=
2
q>p
q 6 =0
Z +1
1
W
2
0 ({)
g{
s
1 { 2
=
(7) Si désigne la partie entière de q@2, les monômes s’expriment en fonction des polynômes de Tchebychev
{
q =
1
2 q1
W q + F
1
q W q2 + ···+ F
1
q
W q+22 + F
q W q2
µ 3 (1)
q
4
¶¸
(8) Entre les abscisses
{
+
n =cos
µ 2n
q
¶
pour lesquelles W q ({
+
n )=+1et les abscisses
{
n =cos
µ (2n +1)
q
¶