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Polynômes de Tchebychev
(5) Les polynômes de Laguerre sont des polynômes orthogonaux relativement à la fonction de poids $({)={
h
{
définie sur l’intervalle ]0> 4[
Z 4
0
O
()
q ({)O
()
p ({){
h
{ g{ =
( + q +1)
q!
q>p
(6) L’intégrale du produit de deux polynômes de Laguerre vérifie
Z {
0
O q (w)O p ({ w)gw = O p+q ({) O p+q+1 ({)
(7) Si Uh() A 1 et Uh() A 0,o na
(+ +q+1)
Z {
0
({w)
1 w
O
()
q (w)gw = (+q+1)(){
+ O
(+)
q
({)
et
Z 4
{
h
w O
()
q (w)gw = h
{
³
O
()
q ({) O
()
q1 ({)
´
A.3 Polynômes de Tchebychev
Les polynômes de Tchebychev (de première espèce) d’ordre q, sont définis
par la relation de récurrence
W q+1 ({)=2{W q ({) W q1 ({)
et les conditions d’initialisation
W 0 ({)=1 W 1 ({)={
Les premiers polynômes sont
W 0 ({)=1
W 1 ({)={
W 2 ({)=2{
2 1
W 3 ({)=4{
3 3{
W 4 ({)=8{
4 8{
2 +1
W 5 ({)=16{
5 20{
3 +5{
W 6 ({)=32{
6 48{
4 +18{
2 1
(1) Le polynôme W q peut être défini par la relation
W q (cos )=cos(q)
ou bien encore par la relation
W q ({)=
1
2
³³
{ +
p
{ 2 +1
´ q
+
³
{
p
{ 2 1
´ q ´