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Polynômes de Laguerre
(3) Formule de Rodrigues
S q ({)=
(1)
q
2 q q!
g
q
g{ q (1 {
2 )
q
(4) Majorations
;{ 5 [1> +1] >
|S q ({)| 1
;{ 5 [1> +1] >
|S
0
q ({)|
q(q +1)
2
;{ 5 [1> +1] >
|S q ({)|
1
p
8q(1 { 2 )
1 S
2
q ({)
(2q 1)(q +1)
S
2
q ({) S q1 ({)S q+1 ({)
2q +1
3q(q +1)
(5) Les polynômes de Legendre sont des polynômes orthogonaux relativement à la fonction de poids $({)=1sur l’intervalle [1> +1].
Z +1
1
S q ({)S p ({)g{ =
2
2q +1
q>p
En particulier, S q (1) = 1 et
kS q k 2 =
µZ +1
1
S
2
q ({)g{
¶1@2
=
r
2
2q +1
(6) Les polynômes de Legendre vérifient la formule
Z +1
1
S q ({)
g{
s
1 {
=
2
3@2
2q +1
A.2 Polynômes de Laguerre
On appelle polynôme de Laguerre d’ordre q, le polynôme défini par la
relation de récurrence
(q +1)O q+1 ({)=(2q +1 {)O q ({) qO q1 ({)
et les conditions d’initialisation
O 0 ({)=1 O 1 ({)=1 {
Pour A1= On appelle polynôme de Laguerre généralisé d’ordre q et on
note O
()
q ({) le polynôme défini par la relation de récurrence
(q +1)O
()
q+1 ({)=(2q + +1 {)O
()
q ({) (q + )O
()
q1 ({)