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Polynômes de Jacobi
(3) Formule de Rodrigues
J
()
q ({)=
(1)
q
2 q q!
( +1@2)(q +2)
(2)( + q +1@2)
g
q
g{ q
³
(1 {
2 )
+q
1
2
´
(4) Les polynômes de Gegenbauer sont des polynômes orthogonaux sur
l’intervalle ]1> +1[ relativement à la fonction de poids $({)=(1{
2 )
1
2 >
on a si 6 =0
Z +1
1
J
()
q ({)J
()
p ({)(1 {
2 )
1
2 g{ =
2
12
q!(q + )!
(q +2)
() 2 q>p
et si =0
Z +1
1
J
(0)
q ({)J
(0)
p ({)(1 {
2 )
1
2 g{ =
2
q 2 q>p
(5) Formule d’intégration
q(2 + q)
2
Z {
0
J
()
q (w)(1 w
2 )
1
2 g{ = J
(+1)
q1 (0) (1 {
2 )
+
1
2 J
(+1)
q1 ({)
A.6 Polynômes de Jacobi
Les polynômes de Jacobi de degré q,n o t é sM
(>)
q
({) ou M q ({) lorsqu’il
n’y a pas ambiguïté, sont les polynômes définis par la relation de récurrence
pour A1 et A1
d q M q+1 ({)=(e q + {f q )M q ({) g q M q1 ({)
initialisée par
M 0 ({)=1 M 1 ({)=( )@2+(1+( + )@2){
avec les coe!cients suivants
d q =2(q +1)(q + + + 1)(2q + + )
e q =(2q + + +1)(
2
2 )
f q =(2q + + )
g q =2(q + )(q + )(2q + + +2)