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Exercices
3. Montrer que l’équation de Boussinesq
x ww x {{ +(3x
2 ) {{ x {{{{ =0
admet une solution de la forme
x({> w)=dvhfk
2 (e({ fw)+g)
Préciser les relations liant les constantes d, e, f et g et vérifier que
l’onde se propage dans les deux sens.
4. Montrer que l’équation de KdV
2x w +3xx { + x {{{ @3=0
conserve les fonctions
P (w)=
Z 4
4
xg{
H(w)=
Z 4
4
(x
3
1
3
x
2
{ )g{
et
M(w)=
Z 4
4
x
2 g{
5. Vérifier que l’équation de Kadomtsev-Petviashvili
(x w 6xx { + x {{{ ) { +3x || =0
admet la solution
x({> |> w)=
1
2
n
2 vhfk
2 (
1
2
(n{ + c| $w))
où $ = n
3 +3c
2 @n=
6. Vérifier que l’équation de Schrödinger non linéaire (SNL)
lx w + x {{ + |x|
2 x =0
admet une solution de la forme
x({> w)=
£
(1 4(1 + 2lw)) @(1 + 2{
2 +4w
2 )
¤
h
lw
Vérifier que l’expression y({> w) suivante est aussi solution de SNL
y({> w)=d [1 + 2p(pfrv + lqvlq)@z({> w)] h
ld
2 w
où d et p sont des réels quelconques, q
2 =(1+p
2 ), =2qpd
2 w et
z({> w)=qfrvk(pd
s
2{)+frv