13. Équations de physique
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13.6 Équation de Benjamin-Bona-Mahony
L’équation de Benjamin-Ono est l’équation
x w + xx { + K(x {{ )=0
où K est la transformée de Hilbert, définie par
Ki({> w)=
1
S
Z 4
4
i (x> w)
x {
gx
et S e s tl ap a r t i ep r i n c i p a l ed eC a u c h y .
L’équation de Benjamin-Bona-Mahony s’écrit
x w + x { + xx { x {{w =0
Pour le traitement numérique de cette équation, on utilisera par exemple
le schéma
1
n (x l>m+1 x l>m )
1
2k x l>m (x l+1>m x l1>m + x l+1>m+1 x l1>m+1 )+
1
nk 2 (x l+1>m+1 2x l>m + x l1>m+1 x l+1>m +2x l>m x l1>m )=0
13.7 Exercices
1. En utilisant la transformation de Bäcklund
½
y { =
1
2f xy
y w =
y
4f (x
2 2x { y)
montrer que x et y vérifient l’équation de Burgers
x w + xx { = fx {{
et l’équation de la diusion
y w = fx {{
2. En utilisant la transformation de Bäcklund
½
y { = x y
2
y w = x {{ +2(xy { + x { y)
montrer que x est solution de l’équation de KdV
x w 6xx { + x {{{ =0
et y est solution de l’équation de KdV modifiée (mKdV)
y w 6y
2 y { + y {{{ =0