13. Équations de physique
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13.4 Équation de sine-Gordon
L’équation de sine-Gordon est de la forme
x {w =sinx
La transformation de Bäcklund de paramètre d 6 =0est définie par
½
y { = x { 2d sin
1
2 (x + y)
y w = x w +
2
d sin
1
2 (x y)
En dérivant la première équation en w et la seconde en {,o nv é r i fi eq u ex
est solution de l’équation de sine-Gordon si et seulement si y est solution
de la même équation. Par conséquent, la transformation de Bäcklund relie
deux solutions. De plus, si on considère la solution triviale y =0, le système
d’équations de Bäcklund s’écrit
½
x { =2d sin(x@2)
x w =
2
d sin(x@2)
La résolution de ces équations conduit à une nouvelle solution de l’équation
de sine-Gordon, appelée 1-soliton,
x({> w)=4arctan( exp(d{ +
w
d
))
où est une constante d’intégration. Le principe de superposition non
linéaire permet d’obtenir d’autres solutions. Soit x une solution de l’équation de sine-Gordon. La transformation de Bäcklund pour un paramètre
d 1 conduit à une nouvelle solution x 1 . Comme x 1 est solution de l’équation de sine-Gordon, on peut construire une transformation de Bäcklund
relative à x 1 de paramètre d 2 , qui conduit à une nouvelle solution x 12 .D e
la même façon, on peut commencer par construire une transformation de
Bäcklund relative à x de paramètre d 2 , on obtient alors une solution x 2 =
Puis, on construit une nouvelle transformation de Bäcklund relativement à
x 2 de paramètre d 1 qui conduit à une nouvelle solution x 21 .L ep r i n c i ped e
superposition non linéaire a!rme que x 12 = x 21 et que x 12 est donné par
x 12 = 4 arctan
d 1 + d 2
d 1 d 2
sinh((y 1 y 2 )@2)
cosh((y 1 + y 2 )@2)
¸
+ x 0
avec pour l =1> 2
y l = d l { + w@d l
Cette solution est appelée un 2-soliton. En itérant la procédure, on construit
ainsi des n-solitons.