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Équation de Korteweg de Vries
où
v l =
r
d l
2
({ 2d l w)> pour l =1> 2
est encore solution de l’équation de KdV.
Les méthodes de traitement numérique de l’équation de KdV sont nombreuses. Pour le système périodique
;
?
=
Cx
Cw + x
Cx
C{ +
C
3 x
C{ 3 =0
{ 5 R>wA0
x({ +1>w)=x({> w)
{ 5 R>w 0
x({> 0) = x 0 ({)
{ 5 R
on utilisera par exemple le schéma aux diérences finies suivant
x l>m+1 x l>m
w
+
(x l+1>m x l1>m )x l>m
{
+
1
2({) 2 (x l+2>m
x l+1>m 2x l1>m x l2>m )=0
ou bien une méthode d’éléments finis, en utilisant la formulation variationnelle
( R 1
0
³
Cx
Cw y
1
2 x
2 Cy
C{ +
CxC
2 y
C{C{ 2
´
g{ =0
x({> 0) = x 0 ({)
ou bien encore une méthode pseudo-spectrale. Cette dernière méthode
consiste à approcher la solution par un développement de la forme
x
p ({> w)=
p
X
q=p
x
p
q (w)h
lq{
En prenant
x
p ({> w + n)=x
p ({> w)+n
Cx
p
Cw
+
n
2
2
C
2 x
p
Cw 2 +
n
3
6
C
3 x
p
Cw 3
et en écrivant
C w x
p = x
p C { x
p C {{{ x
p
C ww x
p = C w x
p C { x
p x
p C { (C w x
p ) C {{{ (C w x
p )
C www x
p = C ww x
p C { x
p 2C w x
p C { (C w x
p ) x
p C { (C ww x
p ) C {{{ (C ww x
p )
on calculera toutes les dérivées en utilisant
C n x
p ({> w)=
p
X
q=p
(lq)
n x
p
q (w)h
lq{
Notons enfin que l’équation de Korteweg de Vries se généralise à deux
dimensions : c’est l’équation de Kadomtsev-Petviashvili
(x w 6xx { + x {{{ ) { +3d
2 x || =0