13. Équations de physique
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l’indice, éventuellement répété, indiquant la variable de dérivation. La solution de cette équation, appelée soliton, est une onde non dispersive, de
la forme
x({> w)=vhfk
2 (
{ fw
c
)=vhfk
2
à r
2
({ 2w)
!
avec vhfk({)=1 @ cosh({), f =2 et c =
p
@2.S ix est une solution de
l’équation de KdV, alors une primitive y de x
y({> w)=
Z {
4
x({> w)g{
est solution de l’équation
y w +3y
2
{ + y {{{ =0
Pour un paramètre d 1 , l’équation de KdV admet une solution
x 1 = d 1 vhfk
2
µr d 1
2
({ 2d 1 w)
¶
qui a pour intégrale
z 1 =
s
2d 1 tanh
µr d 1
2
({ 2d 1 w)
¶
La transformation de Bäcklund de paramètre d 2
½
z { = d 2 y { (y z)
2 @2
z w = y w +(y z)(y {{ z {{ ) 2(y { + y { z { + z
2
{ )
est complètement intégrable et si x est solution de l’équation de KdV, alors
z est aussi solution de KdV. Ce système conduit à une nouvelle solution
de l’équation de KdV
z 2 =
s
2d 2 coth
µr d 2
2
({ 2d 2 w)
¶
de dérivée
x 2 = d 2 fvfk
µr d 2
2
({ 2d 2 w)
¶
Le principe de superposition non linéaire a!rme que pour d 2 Ad 1 ,l a
solution, appelée un 2-soliton, construite sur les solutions de KdV x m , z m ,
m =1> 2 et donnée par l’équation
z 12 = z 0 +
d 1 d 2
2
(x 1 x 2 )
(z 1 z 2 ) 2
= z 0 +(d 1 d 2 )
d 1 vhfk
2 v 1 + d 2 fvfk
2 v 2
(
s
d 1 tanh v 1
s
d 2 coth v 2 ) 2