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Équation de Korteweg de Vries
Dans le cas général, pour un domaine de l’espace quelconque, on ne
connaît pas de solution analytique. On démontre que l’équation de Schrödinger qui s’écrit sous la forme mathématique
½
lC w x + x + i (x)=0
({> w) 5 C
× [0>W]
x({> 0) = x 0 ({)
{ 5
admet une solution unique sous des conditions de régularité de i , x 0 et
.
De même, l’équation de Schrödinger non linéaire
½
lC w x + x + |x|
2 x =0
({> w) 5 R × [0> 4[
x({> 0) = x 0 ({)
{ 5 R
admet une solution x({> w) complexe pour 0. Dans le cas monodimensionnel, on démontre que le schéma
l
x n>m+1 x n>m
w
+
1
2{ 2 ((x n+1>m 2x n>m + x n1>m )+(x n+1>m+1
2x n>m+1 + x n1>m+1 )+
4
³
|x n>m |
2 + |x n>m+1 |
2
´
(x n>m + x n>m+1 )=0
converge. On démontre aussi que si x est su!samment régulière, les quantités
H(w)=
Z +4
4
|x({> w)|
2 g{
et
I (w)=
Z +4
4
¯
¯
¯
¯
Cx({> w)
C{
¯
¯
¯
¯
2
g{
2
Z +4
4
|x({> w)|
4 g{
sont conservées H(w)=H(0) et I (w)=I (0).
13.3 Équation de Korteweg de Vries
L’équation de Korteweg de Vries (KdV)
Cx
Cw
+ x
Cx
C{
+ d
C
3 x
C{ 3 =0
est équivalente à l’équation
Cx
Cw
6x
Cx
C{
+
C
3 x
C{ 3 =0
par le changement de variable [ = d
1@3 { et X = 6d
1@3 x. Cette équation
s’écrit de manière simplifiée
x w 6xx { + x {{{ =0