13. Équations de physique
251
En coordonnées polaires (u> > *), les composantes du moment cinétique
sont indépendantes de u
;
A A ?
A A =
O { = l~
³
sin *
C
C
cos *
tan
C
C*
´
O | = l~
³
cos *
C
C +
sin *
tan
C
C*
´
O } = l~
C
C*
Le laplacien s’exprime en fonction du carré du moment cinétique O
2
=
1
u
C
2
Cu 2 (u)
1
u 2 ~ 2 O
2
où O
2
est donné par
O
2 = ~
2
µ C
2
C
2 +
1
tan
C
C
+
1
sin
2
C
2
C* 2
¶
Par conséquent, l’opérateur hamiltonien vaut
K =
~
2
2p
1
u
C
2
Cu 2 (u)+
1
2pu 2 O
2 + Y (u)
Comme K, O
2
, O } commutent, on peut chercher (u> > *) comme fonction propre de K, O
2
et de O } . Les harmoniques sphériques \
p
c (> *) sont
fonctions propres de O
2
et de O } > avec pour valeurs propres c(c +1)~
2
et
p~,
½
O
2 \
p
c = c(c +1)~
2 \
p
c
O } \
p
c = p~\
p
c
On montre que les harmoniques sphériques sont données par la relation
\
p
c (> *)=%
s
2c +1
4
(c |p|)!
(c + |p|)!
S
|p|
c (cos )h
lp*
où % =(1)
p
si p 0 et % =1si p?0=S
p
c (x) est la fonction
S
p
c (x)=
p
(1 x 2 ) p g
p
gx p S c (x)
où S c (x) e s tl ep o l y n ô m ed eL e g e n d r ed é fi n ip a r
S c (x)=
(1)
c
2 c c!
g
c
gx c (1 x
2 )
c
Les fonctions d’onde (u> > *)=x(u)\
p
c (> *) sont solutions de l’équation
de Schrödinger qui se réduit à l’équation radiale
~
2
2p
1
u
g
2
gu 2 (ux)+
c(c +1)~
2
2pu 2 x + Y (u)x = Hx