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Équation de Navier-Stokes
le fluide est un gaz, la pression s’exprime par s =
où est la constante
adiabatique A1= Sous les conditions aux limites et initiales,
½
u = 0
({> w) 5 C
× [0>W]
(0>{)= 0 ({) et (u)(0>{)=q 0 ({)
{ 5
P.-L. Lions a montré que lorsque est une région bornée su!samment régulière, et sous certaines hypothèses dont 9@5> les équations de NavierStokes ont des solutions faibles. Pour un fluide incompressible, de densité
constante, les équations de Navier-Stokes s’écrivent
;
?
=
C w (u) u +(u=u)u + us = f
({> w) 5 × [0>W]
u=u =0
u = 0
{ 5 C
L’incompressibilité revient à négliger les influences de la pression et de la
température sur la masse volumique. Ces équations sont importantes, car
la majorité des problèmes rencontrés dans des domaines autres que l’aérodynamique concernent les écoulements de fluides incompressibles. Bien
qu’il soit impossible de faire l’hypothèse d’incompressibilité dans des phénomènes comme les transitions de phase liquide-vapeur ou la cavitation, on ne
considérera ici que la résolution numérique des équations de Navier-Stokes
incompressibles. En prenant le rotationnel, on montre que les équations se
mettent sous la forme
C w (rot u)=rot(u a rot u)+rot u
Dans le cas d’un écoulement plan, la vorticité rot(u) n’a qu’une composante
$ =
Cx 2
C{
Cx 1
C|
où x 1 , x 2 sont les coordonnées cartésiennes du vecteur u. L’équation s’écrit
alors
C$
Cw
+
C(x 1 $)
C{
+
C(x 2 $)
C|
= $
et dans le cas monodimensionnel, cette équation se réduit à sa plus simple
expression
C$
Cw
+ x
C$
C{
C
2 $
C{ 2 =0
Lorsque l’utilisation d’un schéma aux diérences centrées conduit à des
instabilités ou à des oscillations, on ra!ne le maillage ou on emploie un
schéma décentré vers l’amont ou "upwind" pour prendre en compte l’aspect
directionnel de l’écoulement. Pour xA0 et WA0,o nap a re x e m p l e ,e n
notant k le pas en espace { et n le pas en temps w,
$ l>q+1 = $ l>q
nx
k
($ l>q $ l1>q )+
n
k 2 ($ l+1>q 2$ l>q + $ l1>q )