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Exercices
soit sous forme matricielle
Dx = e
D est la matrice formée des coe!cients
D l>m =
Z 1
0
Q
0
m Q
0
m g{
e le vecteur de composantes
e m =
Z 1
0
i ({)Q m g{
et x le vecteur (x 1 >x 2 > ===> x p ). En particulier, si on choisit p =2 ,e tl e s
fonctions de forme Q 1 ({)={(1 {) et Q 2 ({)={
2 (1 {), la matrice D
s’écrit
D =
µ
1@31 @6
1@62 @15
¶
et le vecteur e =( 1 @20> 1@30). La résolution conduit aux valeurs x 1 =1 @6
et x 2 =1 @15. La valeur approchée est donc x({)={(1 {)@6+{
2 (1
{)@15= Cette solution approche la solution exacte x({)={({
3 1)@12=
12.11 Exercices
1. On considère l’équation de la chaleur sur un domaine triangulaire
c o n s t i t u éd el ’ a x ed e s{ réduit à l’intervalle [0,1] et de la première
bissectrice reliant l’origine au point de coordonnées (1,1). On suppose
que la température est nulle (x =0 ) sur l’axe des {, que le flux est
nul sur la bissectrice (Cx@Cq =0 ) et qu’il a une valeur constante
(Cx@Cq =2 ) sur le troisième côté du triangle, constitué du segment
de droite reliant le point (1,0) au point (1,1). On discrétise ce domaine
en quatre éléments triangulaires et six nœuds. Les nœuds ont les
coordonnées suivantes : nœud 1 (0, 0), nœud 2 (1/2, 0), nœud 3 (1/2,
1/2), nœud 4 (1, 0), nœud 5 (1, 1/2) et nœud 6 (1, 1). Calculer les
matrices élémentaires. Assembler le système. Résoudre l’équation aux
points nodaux.
2. On considère l’équation
½
x
00 ({)={
sur [0> 1]
x(0) = x(1) = 0
et la fonction de forme Q 1 ({)={(1 {). Résoudre cette équation
par la méthode de collocation de points en { =1 @2.M ê m eq u e s t i o n
pour la méthode des moindres carrés et la méthode de Galerkin.
Exercices
soit sous forme matricielle
Dx = e
D est la matrice formée des coe!cients
D l>m =
Z 1
0
Q
0
m Q
0
m g{
e le vecteur de composantes
e m =
Z 1
0
i ({)Q m g{
et x le vecteur (x 1 >x 2 > ===> x p ). En particulier, si on choisit p =2 ,e tl e s
fonctions de forme Q 1 ({)={(1 {) et Q 2 ({)={
2 (1 {), la matrice D
s’écrit
D =
µ
1@31 @6
1@62 @15
¶
et le vecteur e =( 1 @20> 1@30). La résolution conduit aux valeurs x 1 =1 @6
et x 2 =1 @15. La valeur approchée est donc x({)={(1 {)@6+{
2 (1
{)@15= Cette solution approche la solution exacte x({)={({
3 1)@12=
12.11 Exercices
1. On considère l’équation de la chaleur sur un domaine triangulaire
c o n s t i t u éd el ’ a x ed e s{ réduit à l’intervalle [0,1] et de la première
bissectrice reliant l’origine au point de coordonnées (1,1). On suppose
que la température est nulle (x =0 ) sur l’axe des {, que le flux est
nul sur la bissectrice (Cx@Cq =0 ) et qu’il a une valeur constante
(Cx@Cq =2 ) sur le troisième côté du triangle, constitué du segment
de droite reliant le point (1,0) au point (1,1). On discrétise ce domaine
en quatre éléments triangulaires et six nœuds. Les nœuds ont les
coordonnées suivantes : nœud 1 (0, 0), nœud 2 (1/2, 0), nœud 3 (1/2,
1/2), nœud 4 (1, 0), nœud 5 (1, 1/2) et nœud 6 (1, 1). Calculer les
matrices élémentaires. Assembler le système. Résoudre l’équation aux
points nodaux.
2. On considère l’équation
½
x
00 ({)={
sur [0> 1]
x(0) = x(1) = 0
et la fonction de forme Q 1 ({)={(1 {). Résoudre cette équation
par la méthode de collocation de points en { =1 @2.M ê m eq u e s t i o n
pour la méthode des moindres carrés et la méthode de Galerkin.